Question

Sejam $A$ e $B$ conjuntos tais que se $A$ ∩ ($A$ ∪$B$ ) = $B$ ∪ ($A$ ∩ $B$ ). Prove que $A$ =$B$ .

Answer 1

Olá.

Primeiramente, assumindo que ainda não sei se A é igual B:

Perceba que A ∩ (A∪B) irá ser igual aos elementos que o conjunto A contém ou aos elementos que eram em comum entre A e B.

Da mesma maneira, temos que B ∩ (A∪B) será igual aos elementos que o B contém ou os elementos que são em comum entre o conjunto A e B.

Mas se A∩(A∪B) = B∩(A∪B), então esses conjuntos têm que ser iguais, pois para que se mantenha essa igualdade, eu não posso ter elementos em A que sejam diferente dos elementos em b.

Supondo que A = {a,b,c,d} e B = {b,c,d,e}

A ∪ B = {a,b,c,d,e}

A∩(A∪B) = {a,b,c,d}

B∩(A∪B) = { b,c,d,e}

Perceba que mesmo A e B tendo quase todos os elementos iguais e apenas um diferente não há uma igualdade entre A∩(A∪B) = B∩(A∪B). portanto, a única maneira de isso ocorrer é sendo A=B.

Bons estudos!