Question

I) Determine o valor de k para que as funções abaixo sejam contínuas no espaço real.
$\sf f(x) = \begin{cases} \sf 2x {}^{2} + 3 \: \: \: para \: \: x \leqslant 0 \\ \sf \frac{sen(kx)}{x} \: \: \: para \: \: x > 0\end{cases}$
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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{k=3~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos encontrar um valor de $k$ tal que a função definida por partes $f(x)=\begin{cases}2x^2+3,~para~x\leq0\\\\ \dfrac{\sin{kx}}{x},~para~x>0\\\end{cases}$ seja contínua em $\mathbb{R}$.

Primeiro, observe o gráfico da função $f(x)=2x^2+3$. É uma parábola com vértice em $(0,~3)$ e está definida para o ponto $x=0$.

A função $\dfrac{\sin(kx)}{x}$ não está definida para o ponto $x=0$, embora possamos calcular o limite para $x$ tendendo a zero. Lembre-se que:

Dada uma certa função $f(x)=a\sin(bx+c)+d$, os parâmetros $a,~b,~c$ e $d$ são responsáveis por uma mudança no gráfico.

O parâmetro $a$ é responsável pela amplitude, $b$ é responsável pelo período da função, $c$ translada o gráfico para a esquerda ou direita e $d$ translada o gráfico para cima ou para baixo.

Neste caso, o valor $k$ assume o lugar de $b$. Logo, devemos encontrar um ela assume um valor que é comum aos dois, portanto sendo contínua naquele ponto.

O primeiro limite é $\underset{x\rightarrow0}{\lim}~2x^2+3$, que pode ser facilmente calculado, visto que a função está bem definida neste ponto. Logo, sabendo que $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)=f(c)$, temos

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~2x^2+3=2\cdot0^2+3$

Calcule a potência e some os valores

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~2x^2+3=3$

O outro limite será $\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(kx)}{x}$. Podemos multiplicar a fração por $\dfrac{k}{k}$, visto que isto não altera seu valor. Ficaremos com:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{k\sin(kx)}{kx}$

Observe que podemos reescrever este limite da seguinte forma, utilizando a propriedade $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)\cdot g(x)=\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x) \cdot \underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)$:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~k\cdot \underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(kx)}{kx}$

O limite de uma constante é igual a própria constante, logo

$k\cdot \underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(kx)}{kx}$

Fazendo uma substituição $u=kx$.  Quando $x\rightarrow 0$, sabemos que $u\rightarrow~0$, logo teremos:

$k\cdot \underset{u\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(u)}{u}$

De acordo com o Teorema do confronto, $\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(x)}{x}=1$, pois quando uma das funções está limitada a um intervalo, como a função seno está limitada a $[-1,~1]$, e elas convergem para o mesmo ponto, seu resultado é igual a 1.

Temos então que

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(kx)}{x}=k$

Dessa forma, como queríamos que os limites fossem iguais, fazemos

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(kx)}{x}=\underset{x\rightarrow0}{\lim}~2x^2+3$

Substituindo os valores que encontrarmos, podemos afirmar que:

$k=3$

Este é o valor que procurávamos.