Question

Num triângulo ABC são dados:

1) O ponto A(-4, 3)
2) O ponto médio de AB (-4, 6)
3) A distância entre os pontos A e C = 8
4) A distância entre os pontos B e C = 10.

Obtenha o vértice C do triângulo

Gabarito: (4, 3) ou (-12, 3)

Answer 1

Vamos começar descobrindo as coordenadas de B.

X do ponto médio AB = $-4}+{x_{b} = -8 ==\\\\x_{b}=-4$

Y do ponto médio AB = $3+y_{b}=12 == y_{b}=9$

Logo B = (-4, 9)

Agora analisemos a distância entre A e C:

$\sqrt{(-4-x_{c})^2+(3-y_{c})^2} = 8\\\\(-4-x_{c})^2+(3-y_{c})^2=64\\\\x_{c}^2+8x_{c}+y_{c}^2-6y_{c}-39=0$

Vamos fazer o mesmo com a distância entre B e C

$\sqrt{(-4-x_{c})^2+(9-y_{c})^2} = 10\\\\(-4-x_{c})^2+(9-y_{c})^2=100\\\\x_{c}^2+8x_{c}+y_{c}^2-18y_{c}-3=0$

Vamos igualar agora as duas distâncias:

$x_{c}^2+8x_{c}+y_{c}^2-6y_{c}-39=x_{c}^2+8x_{c}+y_{c}^2-18y_{c}-3=0\\\\-6y_{c}-39=-18y_{c}-3\\\\y_{c}=3$

Agora que temos a ordenada do ponto C vamos substituir esse valor em qualquer uma das equações de distância para descobrir sua abscissa:

$x_{c}^2+8x_{c}+y_{c}^2-18y_{c}-3=0\\\\x_{c}^2+8x_{c}+3^2-18*3-3=0\\\\x_{c}^2+8x_{c}-48=0$

Resolverei a equação pelo completamento de quadrado:

$x_{c}^2+8x_{c}-48=0\\\\x_{c}^2+8x_{c}+4^2=48+4^2\\\\(x_{c}+4)^2=64\\\\\\x_{c}+4=8 == x_{c}=4\\\\-x_{c}-4=8==x_{c}=-12$

Portanto, as coordenas de C são (4,3) ou (-12, 3)