Question

assinale o valor de x para log (x^2-6x) = log (3x) +1​

Answer 1

Vamos começar reescrevendo o termo "1" como um logaritmo de base 10.

$\boxed{1~=~\log10}$

Substituindo na equação:

$\log \,(x^2-6x)~=~\log\,(3x)~+~\log10$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto:

$\log\,(x^2-6x)~=~\log\,(3x\cdot10)\\\\\\\log\,(x^2-6x)~=~\log\,(30x)$

Temos uma igualdade entre logaritmos de mesma base, pra que seja atendida essa igualdade, necessariamente teremos os logaritmandos também iguais.

$lo\!\!\!\backslash g\,(x^2-6x)~=~lo\!\!\!\backslash g\,(30x)\\\\\\x^2-6x~=~30x\\\\\\x^2-6x-30x~=~0\\\\\\\boxed{x^2-36x~=~0}~~~~\rightarrow~Equacao~de~2^ograu~incompleta\\\\\\x\cdot(x-36)~=~0~~~~\rightarrow~~\left\{\begin{array}{ccc}x'&=&0\\\\x''&=&36\end{array}\right.$

Chegamos a 2 possíveis soluções pra equação (x' e x''), no entanto precisamos verificar se estas soluções encontradas atentem às condições de existência do logaritmo.

Sabemos que, para existir o logaritmo, o logaritmando deve ser maior que 0 (logaritmando > 0)

Vamos então verificar soluções encontradas, substituindo "x" dos logaritmandos pelas raízes x' e x''.

$\underline{Para~~x=x'=0}:\\\\\rightarrow~~x^2-6x~=~0^2-6\cdot0~=~0~~\boxed{\times}~Logaritmando~nao~atende~a~C.E.\\\\\rightarrow~~30x~=~30\cdot0~=~0~~\boxed{\times}~Logaritmando~nao~atende~a~C.E.\\\\\\\\\underline{Para~~x=x''=36}:\\\\\rightarrow~~x^2-6x~=~36^2-6\cdot36~=~1080~~\boxed{\checkmark}~Logaritmando~atende~a~C.E.\\\\\rightarrow~~30x~=~30\cdot36~=~1080~~\boxed{\checkmark}~Logaritmando~atende~a~C.E.$

Assim, podemos ver que há uma solução unica, x=36.