Question

1. Sendo sen x = 4/5 e x um arco do primeiro quadrante, encontre o valor de tg x. 2. Sendo cos x = 5/13 e x um arco do quarto quadrante, encontre o valor de tg x. 3. Sendo sen x = 8/17 e x um arco do segundo quadrante, encontre o valor de sec x. 4. Sendo sen x = – 3/5 e x um arco do terceiro quadrante, encontre o valor de A = sec x + tg x.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1) Pela relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen^2~x+cos^2~x=1$

$\sf \left(\dfrac{4}{5}\right)^2+cos^2~x=1$

$\sf \dfrac{16}{25}+cos^2~x=1$

$\sf cos^2~x=1-\dfrac{16}{25}$

$\sf cos^2~x=\dfrac{25-16}{25}$

$\sf cos^2~x=\dfrac{9}{25}$

Como esse ângulo pertence ao primeiro quadrante, seu cosseno é positivo

$\sf cos~x=\sqrt{\dfrac{9}{25}}$

$\sf cos~x=\dfrac{3}{5}$

Logo:

$\sf tg~x=\dfrac{sen~x}{cos~x}$

$\sf tg~x=\dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}$

$\sf tg~x=\dfrac{4}{3}$

2)

Pela relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen^2~x+cos^2~x=1$

$\sf sen^2~x+\left(\dfrac{5}{13}\right)^2=1$

$\sf sen^2~x+\dfrac{25}{169}=1$

$\sf sen^2~x=1-\dfrac{25}{169}$

$\sf sen^2~x=\dfrac{169-25}{169}$

$\sf sen^2~x=\dfrac{144}{169}$

Como esse ângulo pertence ao quarto quadrante, seu seno é negativo

$\sf sen~x=-\sqrt{\dfrac{144}{169}}$

$\sf sen~x=\dfrac{-12}{13}$

Logo:

$\sf tg~x=\dfrac{sen~x}{cos~x}$

$\sf tg~x=\dfrac{\frac{-12}{13}}{\frac{5}{13}}$

$\sf tg~x=\dfrac{-12}{5}$

3)

Pela relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen^2~x+cos^2~x=1$

$\sf \left(\dfrac{8}{17}\right)^2+cos^2~x=1$

$\sf \dfrac{64}{289}+cos^2~x=1$

$\sf cos^2~x=1-\dfrac{64}{289}$

$\sf cos^2~x=\dfrac{289-64}{289}$

$\sf cos^2~x=\dfrac{225}{289}$

Como esse ângulo pertence ao segundo quadrante, seu cosseno é negativo

$\sf cos~x=-\sqrt{\dfrac{225}{289}}$

$\sf cos~x=\dfrac{-15}{17}$

Logo:

$\sf sec~x=\dfrac{1}{cos~x}$

$\sf sec~x=\dfrac{1}{\frac{-15}{17}}$

$\sf sec~x=\dfrac{17}{-15}$

$\sf sec~x=\dfrac{-17}{15}$

4)

Pela relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen^2~x+cos^2~x=1$

$\sf \left(\dfrac{-3}{5}\right)^2+cos^2~x=1$

$\sf \dfrac{9}{25}+cos^2~x=1$

$\sf cos^2~x=1-\dfrac{9}{25}$

$\sf cos^2~x=\dfrac{25-9}{25}$

$\sf cos^2~x=\dfrac{16}{25}$

Como esse ângulo pertence ao terceiro, seu cosseno é negativo

$\sf cos~x=-\sqrt{\dfrac{16}{25}}$

$\sf cos~x=\dfrac{-4}{5}$

Assim:

$\sf sec~x=\dfrac{1}{cos~x}$

$\sf sec~x=\dfrac{1}{\frac{-4}{5}}$

$\sf sec~x=\dfrac{5}{-4}$

$\sf sec~x=\dfrac{-5}{4}$

$\sf tg~x=\dfrac{sen~x}{cos~x}$

$\sf tg~x=\dfrac{\frac{-3}{5}}{\frac{-4}{5}}$

$\sf tg~x=\dfrac{3}{4}$

Logo:

$\sf A=sec~x+tg~x$

$\sf A=\dfrac{-5}{4}+\dfrac{3}{4}$

$\sf A=\dfrac{-5+3}{4}$

$\sf A=\dfrac{-2}{4}$

$\sf A=\dfrac{-1}{2}$