Question

O conjunto imagem da função de segundo grau f (x) = x² - 1 é: *

[-1, +∞)

(-1, +∞)

(-∞, -1]

(-∞, -1)

(-∞, +∞)

​

Answer 1

Resposta:

[-1, +∞)

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, é necessário achar o Y vértice da função f(x) = x² - 1

Yv = -Δ / 4a

Yv = - (b² -4ac) / 4a

Yv = - (0 - 4.1.-1) / 4

Yv = -(4) / 4

Yv = -1

Esse -1 representa o valor mínimo da parábola, já que a sua concavidade é pra cima ( a > 0 )

Pra representarmos o conjunto imagem, há 2 formas:

Imagem = { y∈R | y ≥  -1}  ( Y pertence ao Reais, tal que, y seja maior ou igual a -1)

Imagem = [ -1, +∞) (Notação de intervalo) ( De -1 para infinito)

Answer 2

✅ Após ter calculado o valor da ordenada do vértice da parábola e também, ter analisado o comportamento da concavidade, concluímos que o conjunto imagem da referida função é:

            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I_{M} = [-1, +\infty)\:\:\:}} \end{gathered} }$

Seja a função do segundo grau:

       $\large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^{2} -1 \end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

             $\large\begin{cases}a = 1\\b = 0\\c = -1 \end{cases}$

Para encontrarmos o conjunto imagem "Im" da função quadrática devemos encontrar o valor da ordenada do vértice da parábola e analisar a concavidade da parábola.

• Calcular a ordenada do vértice, fazemos:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}Y_{V} = -\frac{\Delta}{4\cdot a} \end{gathered}$

                 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= - \frac{(b^{2} - 4\cdot a\cdot c)}{4\cdot a} \end{gathered} }$

                 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= - \frac{[0^{2} - 4\cdot1\cdot(-1)]}{4\cdot 1} \end{gathered} }$

                 $\large\displaystyle\begin{gathered}= -\frac{[0 + 4]}{4} \end{gathered}$

                 $\large\displaystyle\begin{gathered}= - \frac{4}{4} \end{gathered}$

                 $\large\displaystyle\begin{gathered}= -1 \end{gathered}$

          Portanto, o valor da ordenada do vértice é:

             $\large\displaystyle\begin{gathered}Y_{V} = -1 \end{gathered}$

• Analisando o comportamento da concavidade da parábola:

           $\large\displaystyle\begin{gathered}Se\:\:\:a>0\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:Concavidade\:\:\:\cup \end{gathered}$

        Desse modo, o vértice da parábola é um ponto de mínimo.

✅ Portanto, o conjunto imagem "Im" da função é:

             $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}I_{M} = \{y\in\mathbb{R}\:|\: y\ge-1\} = [-1, +\infty)\end{gathered} }$

Saiba mais:

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Solução gráfica: