Question

Cálculo - Derivadas Estou derivando a função $y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x} }$; Eu já tenho a resposta, apenas tenho que resolver. Parei em uma parte em que não sei como reduzir mais. A resposta é: $y'=\frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^{2}} }$ Eu cheguei até: $y'=\frac{1}{(1-x)^{2}\sqrt{\frac{1+x}{1-x} } }$ Me ajudem a entender como reduzir, obrigado.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}\cdot(1-x)}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para derivarmos a função $y=\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$, utilizaremos algumas técnicas de derivação.

Lembre-se que:

• A derivada de um quociente é dado pela fórmula $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{(g(x))^2}$.
• A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia, tal que $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Antes, aplique a propriedade de radicais: $\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$. Ficaremos com:

$y=\dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}$.

Aplique a regra do quociente.

$y'=\left(\dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}\right)'=\dfrac{(\sqrt{1+x})'\cdot \sqrt{1-x}-(\sqrt{1-x})'\cdot \sqrt{1+x}}{(\sqrt{1-x})^2}$

Para derivamos as raízes, utilize a regra da cadeia para derivar função composta. Neste caso, $f(g(x))=\sqrt{1+x}$ e $f(h(x))=\sqrt{1-x}$, tal que $f(x)=\sqrt{x}$,  $g(x)=1+x$ e $h(x)=1-x$.

Lembre-se que $\LARGE{\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, logo aplicando a regra da cadeia, sua derivada será:

$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}$

Somando os valores no expoente, temos

$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$

Pela propriedade de potência, sabemos que $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$, logo

$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Torne novamente $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ e multiplique as frações

$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

Aplicando isso onde estávamos, teremos:

$y'=\dfrac{(1+x)'\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\cdot \sqrt{1-x}-(1-x)'\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot\sqrt{1+x}}{(\sqrt{1-x})^2}$

Para derivar a soma, aplique a regra da soma

$y'=\dfrac{((1)'+(x)')\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\cdot \sqrt{1-x}-((1)'-(x)')\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot\sqrt{1+x}}{(\sqrt{1-x})^2}$

Aplique a propriedade da derivada da constante e da derivada da potência

$y'=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\cdot \sqrt{1-x}-(-1)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot\sqrt{1+x}}{(\sqrt{1-x})^2}$

Aplique a propriedade de sinais

$y'=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\cdot \sqrt{1-x}+\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot\sqrt{1+x}}{(\sqrt{1-x})^2}$

Multiplicando as frações, temos

$y'=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1+x}}+\dfrac{\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-x}}}{(\sqrt{1-x})^2}$

Calcule a potência no denominador e some as frações no numerador

$y'=\dfrac{\dfrac{(\sqrt{1-x})^2+(\sqrt{1+x})^2}{2\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}}}{1-x}$

Calcule as potências

$y'=\dfrac{\dfrac{1-x+1+x}{2\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}}}{1-x}$

Some os valores

$y'=\dfrac{\dfrac{2}{2\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}}}{1-x}$

Calcule a fração de frações e simplifique

$y'=\dfrac{2}{2\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}\cdot(1-x)}\\\\\\ y'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}\cdot(1-x)}$

Multiplique os radicais no numerador, lembrando que $\sqrt{m}\cdot \sqrt{n}=\sqrt{m\cdot n}$ e que $(1+x)\cdot(1-x)=1-x^2$, chamado de produto da soma pela diferença.

$y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}\cdot(1-x)}$

Esta é a derivada da nossa função.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da derivada

Dada a função :

$\sf{ \red{ y~=~ \sqrt{ \dfrac{1 + x}{1 - x}} } }$

Para derivar a função vamos usar a regra da cadeia, primeiramente vamos reescrever a função como uma potência :

$\iff \sf{ y~=~ \left( \dfrac{1+x}{1-x} \right)^{\frac{1}{2}} }$

Segundo a regra sabe-se que se: $\sf{y~=~(f(x))^k }$ Então :

$\sf{ y'~=~k*(f(x))^{k-1}*f'(x) ~,com~k\in\mathbb{R} }$

Aplicação :

$\iff \sf{ y'~=~ \dfrac{1}{2} *\left( \dfrac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}-1} *\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)' }$

$\iff \sf{ y'~=~ \dfrac{1}{2} * \left( \dfrac{1+x}{1-x}\right)^{-\dfrac{1}{2}} * \left( \dfrac{ (1+x)'(1-x)-(1+x)*(1-x)'}{(1-x)^2}\right) }$

$\iff \sf{ y'~=~ \dfrac{1}{2}*\left( \dfrac{1-x}{1+x}\right)^{\frac{1}{2}}* \left( \dfrac{(1-x+1+x)}{(1-x)^2}\right) }$

$\iff \sf{ y'~=~\dfrac{1}{\cancel{2}}*\sqrt{ \dfrac{1-x}{1+x} } *\dfrac{\cancel{2}}{(1-x)^2} }$

$\green{ \iff \boxed{\sf{ y'~=~\dfrac{1}{(1-x)^2}*\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} } } }$

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Espero ter ajudado bastante!)