Question

Questão sobre derivadas $y=(1+\sqrt[3]{x} )^{3}$ y'=?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da derivada

Dada a função :

$\sf{ y~=~ \left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^3 }$

Vamos usar a regra da cadeia

Perceba que, se : $\sf{ y~=~ (f(x))^k }$ Então:

$\sf{ y'~=k*(f(x))^{k-1}*f'(x)~,com~k\in\mathbb{R} }$

Aplicando o pensamento acima podemos ter o seguinte :

$\iff \sf{ y'~=~ 3*\left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^{3-1}*\left(1 + \sqrt[3]{x}\right)' }$

$\iff \sf{ y'~=~3*\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2 * \left( 0 +(x^{\frac{1}{3})'}\right) }$

$\iff \sf{ y'~=~\cancel{3}*\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2 * \dfrac{1}{\cancel{3}}*x^{\frac{1}{3}-1} }$

$\iff \sf{ y'~=~\left( 1 + \sqrt[3]{x}\right)^2 * x^{-\frac{2}{3}} }$

$\iff \sf{ y'~=~ \left( 1 + \sqrt[3]{x}\right)^2 *\sqrt[3]{x^{-2}} }$

Continuando com a simplificação :

$\iff \sf{ y'~=~\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2 *\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} }$

$\iff \sf{ y'~=~\dfrac{\left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} }$

Perceba que :

$\iff \sf{ \red{ \dfrac{m^2}{n^2}~=~\left( \dfrac{m}{n}\right)^2 } }$ Por tanto podemos ter :

$\iff \sf{ y'~=~ \left( \dfrac{1 + \sqrt[3]{x} }{\sqrt[3]{x}} \right)^2 }$

Separando a fracção :

$\iff \sf{ y'~=~ \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} + \dfrac{ \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} \right)^2 }$

$\green{\iff\boxed{\boxed{\sf{ y'~=~\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+1 \right)^2 } } } \sf{\longleftarrow Resposta} }$

Espero ter ajudado bastante!)

Dúvidas?? Comente por favor!!)

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y'=\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+1\right)^2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para encontrarmos a derivada da função $y=(1+\sqrt[3]{x})^3$, devemos relembrar algumas técnicas de derivação.

Observe que esta é uma função composta $f(g(x))$, tal que $f(x)=x^3$ e $g(x)=1+\sqrt[3]{x}$.

Para derivarmos esta função, lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia, de forma que: $(f(g(x))'=g'(x)\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Dessa forma, derive ambos os lados da equação

$y'=((1+\sqrt[3]{x})^3)'$

Aplique a regra da cadeia

$y'=(1+\sqrt[3]{x})'\cdot 3\cdot(1+\sqrt[3]{x})^2$

Para derivarmos a primeira expressão, aplique a regra da soma:

$y'=((1)'+(\sqrt[3]{x})')\cdot 3\cdot(1+\sqrt[3]{x})^2$

Aplique a regra da constante e a regra da potência, lembrando que $\sqrt[3]{x}={x^{\frac{1}{3}}}$, teremos:

$y'=\dfrac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}\cdot 3\cdot(1+\sqrt[3]{x})^2$

Some as frações no expoente e multiplique as frações

$y'=\dfrac{1}{\not{3}}\cdot x^{\frac{1-3}{3}}\cdot \not{3}\cdot(1+\sqrt[3]{x})^2\\\\\\ y'=x^{-\frac{2}{3}}\cdot (1+\sqrt[3]{x})^2$

Então, lembre-se das propriedades de potência:

• O expoente negativo inverte a base, logo $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n$.
• A potência de uma fração por ser reescrita como a potência do numerador e do denominador, logo $\left(\dfrac{b}{a}\right)^n=\dfrac{b^n}{a^n}$.
• O expoente fracionário pode ser reescrito como raiz, tornando o denominador o índice da raiz e o numerador expoente (por conta da propriedade de potência de potência), ou seja: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$.

Ficaremos com:

$y'=\dfrac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\cdot (1+\sqrt[3]{x})^2\\\\\\ y'=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x})^2}\cdot (1+\sqrt[3]{x})^2$

Observe que os fatores têm o mesmo expoente, logo reescrevemos de acordo com a regra de potência de fração discutida acima:

$y'=\left(\dfrac{1+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}\right)^2$

Separe a fração como uma soma de frações

$y'=\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}\right)^2$

Simplifique a segunda fração

$y'=\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+1\right)^2~~\checkmark$

Observe que o erro do seu professor está na regra da potência.

Deduz-se isso pois o denominador $x\sqrt[3]{x}$ é resultado da simplificação da raiz $\sqrt[3]{x^4}$.

Veja que ao reescrevermos esta raiz como fração, teremos

$\sqrt[3]{x^4}=x^{\frac{4}{3}}$

Reescrevendo a fração do expoente como uma soma, teremos

$x^{\frac{4}{3}}=x^{\frac{1\bold{+3}}{3}}\\\\\\ \HUGE{x^{\frac{1}{3}+1}}$

Perceba que no cálculo da derivada, devemos subtrair e não somar $1$ na potência. Com isso, finalizamos a derivação desta função.