Question

Calcular a area total e o volume de uma piramide triangular de altura 6cm e a área da base 12√3cm²​. URGENTE PF AJUDA!!​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{A_T=12\sqrt{3}+12\sqrt{30}~cm^2~|~V=24\sqrt{3}~cm^3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Seja uma pirâmide triangular de altura 6 cm e área da base $12\sqrt{3}$ cm². Para encontrarmos sua área total, devemos relembrar algumas propriedades de geometria espacial.

A pirâmide triangular é composta de triângulos isósceles. Para calcularmos sua área, precisamos saber a medida da área de todos os triângulos que a compõem.

Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para calcular a altura das faces laterais, a partir da altura e do apótema do triângulo da base.

A projeção ortogonal do vértice desta pirâmide na base é o apótema, cuja medida podemos calcular utilizando a tangente do ângulo formado entre ela e a metade da medida de uma das arestas da base. (veja a imagem).

Seja a apótema $a_p$ e a aresta da base $a$, teremos que $\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)}{a_p}=\tan 60\°$.

Logo, substituindo $\tan 60\°=\sqrt{3}$ e simplificando a fração, $a_p=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.

Temos a medida da área da base, que é $12\sqrt{3}$. Comparando esta medida à fórmula da área de um triângulo equilátero, temos que $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}$ e portanto, $a=4\sqrt{3}$.

A altura da face lateral chamada de $h_f$ é calculada pelo teorema de Pitágoras:

${h_f}^2=h^2+{a_p}^2$.

Substituindo as medidas conhecidas, teremos

${h_f}^2=6^2+\left(\dfrac{4\sqrt{3}\sqrt{3}}{6}\right)^2$

Multiplique os valores e calcule as potências

${h_f}^2=6^2+\left(\dfrac{4\cdot3}{6}\right)^2\\\\\\ {h_f}^2=6^2+2^2\\\\\\ {h_f}^2=36+4$

Some os valores

${h_f}^2=40$

Retire a raiz em ambos os lados da equação

$h_f=2\sqrt{10}$.

A área da face lateral é dada por $\dfrac{a\cdot h_f}{2}$. Substitua os valores que temos:

$A_{\ell}=\dfrac{4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{10}}{2}$

Multiplicando os valores, temos

$A_{\ell}=4\sqrt{30}}$.

A área total de uma pirâmide triangular é dada pela fórmula $A_T=A_b+3\cdot A_{\ell}$, logo

$A_T=12\sqrt{3}+12\sqrt{30}~cm^2$.

O volume é dado pela fórmula $V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$.

Substituindo estas medidas conhecidas, temos

$V=\dfrac{12\sqrt{3}\cdot 6}{3}$

Multiplique os valores e simplifique a fração

$V=24\sqrt{3}~cm^3$.