Question

5) Determine a reta que passa pelo ponto P(2,3) e pelo ponto Q, simétrico ao ponto P em relação à origem. O simétrico de um ponto P(a,b) em relação a origem é o ponto Q(-a,-b).

Answer 1

Resposta:

$y = \frac{3}{2}x$

Explicação passo-a-passo:

A reta deve passar pelos pontos P=(2,3) e Q=(-2,-3), assim o primeiro passo é calcular o coeficiente angular, m:

$m = \frac{y1-y0}{x1-x0} = \frac{3-(-3)}{2-(-2)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

A equação fundamental de reta é dada por:

$y - y0 = m(x-x0)$

Assim basta substituir:

$y - (-3) = \frac{3}{2} (x - (-2))\\y + 3 = \frac{3}{2} (x + 2)\\2y + 6 = 3x + 6\\2y = 3x$

Ou passando para a forma reduzida

$2y=3x\\y= \frac{3}{2}x$

Note que podemos demonstrar que a reta passa pelo ponto P=(2,3) simplesmente substituindo a coordenada x = 2 na equação:

$y = \frac{3}{2}x\\y = \frac{3}{2}.2\\\\y = 3$

Da mesma forma para o ponto Q=(-2,-3). Se x = -2, y=-3.

Outra consideração importante é que, como pegamos dois pontos simétricos em relação à origem, a reta sempre passará pelo ponto (0,0).

Veja que comprando a equação reduzida à sua forma geral, notamos que o coeficiente linear b = 0, ou seja, a reta corta o eixo y no ponto (0,0).

$y = mx+b\\y = \frac{3}{2} + 0\\\\=> b = 0$

Perceba que, como para toda reta que passa por pontos simétricos em relação à origem tem coeficiente linear nulo (b=0), poderíamos ter chegado à resposta apenas calculando o coeficiente angular e utilizando a forma reduzida da equação da reta.