Question

oque acontece quando temos um produto (multiplicação) ou um quociente (divisão) elevados a uma potência??​

Answer 1

Resposta:

• Quando temos um produto elevado a um número, teremos o mesmo que o produto de cada parcela elevada a esse número

$(a.b)^n = a^n.b^n$

• Quando temos um quociente elevado a um número, teremos o mesmo que o quociente de cada parcela elevada a esse número

$(\frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n}$

Explicação passo-a-passo:

Pensemos primeiro na multiplicação:

Suponha que você tem dois números (a e b) sendo multiplicados e elevados a uma potência qualquer, n.

$(a . b)^n$

Bom, elevar um número a uma potência significa multiplicar esse número por ele mesmo, assim estamos multiplicando (a.b) por ele mesmo "n" vezes. Veja:

$(a.b)^n = (a.b) . (a.b) .(a.b) ...(a.b)$ , n vezes.

Podemos reagrupar utilizando a propriedade comutativa da multiplicação:

$(a.b)^n = (a.b) . (a.b) .(a.b) ...(a.b)\\(a.b)^n = (a.a.a...a) . (b.b.b...b)$

Note que teremos exatamente "n vezes" o número "a" na multiplicação e também "n vezes" o número "b" na multiplicação.

Como

$(a.a.a...a) = a^n\\(b.b.b...b) = b^n$

Então

$(a.b)^n = a^n.b^n$

Portanto, quando temos um produto elevado a um número, teremos o mesmo que o produto de cada parcela elevada  a esse número.

Vejamos um exemplo:

$(2.3)^2 = 2^2 . 3^2$

Note que realmente,

$(2.3)^2 = 6^2 = 362^2.3^2 = 4.9 = 36$

O raciocínio é o mesmo para a divisão.