A maior raiz da equação abaixo, representa em centímetros, a medida da diagonal de um quadrado, então a área do quadrado é : A)18 centímetros quadrados. B)24 centímetros quadrados. C)32 centímetros quadrados. D)36 centímetros quadrados. E)64 centímetros quadrados.

Anexos:

Respostas

respondido por: Atoshiki

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Representação do quadrado na figura em anexo.

dados:

x² - 12x + 32 = 0

calculando através de Bhaskara, temos:

a= 1, b = -12 e c = 32

Δ = (-12)² - 4 × 1 × 32

Δ = 144 - 128

Δ = 16 = delta

$\frac{-b+-\sqrt{delta} }{2\times a}\\\\ \frac{-(-12)+-\sqrt{16} }{2\times 1}\\\\ \frac{12+-4}{2}$

raízes:

$x1 = \frac{12+4}{2}= \frac{16}{2}=8$

$x2 = \frac{12-4}{2}=\frac{8}{4}=2$

O enunciado nos informou que: "... A maior raiz da equação abaixo, representa em centímetros, a medida da diagonal de um quadrado, ...". Desta forma a maior raiz é 8.

Note que a diagonal, transforma o quadrado em 2 triângulos retângulos. Desta forma, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras ou aplicar através de seus ângulos, o seno, cosseno ou tangente.

Por não termos os valores dos lados, não é possível aplicar o Teorema de Pitágoras. Desta forma, através de seus ângulos, podemos calcular o valor do lado, através de seno, cosseno ou tangente. Note que a diagonal divide o ângulo de 90° ao meio, obtendo 2 ângulos de 45°.

Hipotenusa é a reta que fica oposto ao ângulo de 90°, ou seja, é a maior raiz que acabamos de determinar. Catetos são as retas que ficam do lado do ângulo de 90°.

Outra coisa que precisamos saber é seno, cosseno e tangente, o qual:

seno = cateto oposto / hipotenusa
cosseno = cateto adjacente / hipotenusa
tangente = cateto oposto / cateto adjacente

Calculando o lado do quadrado:

dados:

Sabendo que temos o valor da hipotenusa (diagonal), Podemos aplicar tanto seno como cosseno.
O valor do cateto é o que queremos saber, e nomearemos como sendo "x".
O ângulo será 45°, conforme explicado a pouco.

vou escolher o seno! Assim, temos:

sen 45° = cateto oposto / hipotenusa

sen 45° = x / 8

através da calculadora científica, obtemos o valor de sen 45° = 0,7071, continuando:

0,7071 = x / 8

0,7071 × 8 = x

x = 5,66.

Então, cada lado do quadrado é igual à 5,66 cm.

Para calcular a área do quadrado devemos aplicar a fórmula:

área = base × altura

área = 5,66 × 5,66

área = 32,04 cm², arredondando 32 cm²