Question

(Ufpr 2020) Sendo x, y e z números reais, considere as matrizes




a) Supondo que x = 1, y = 1 e z = -2, calcule o produto de matrizes A ×B.

b) Para quais valores de x, y e z a matriz B é a inversa da matriz A?​

Answer 1

Segue a resolução na foto:

Answer 2

Com o estudo sobre matriz temos como resposta

a)

$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&7&4\\ 0&0&-1&0\end{pmatrix}$

b) $x=-1,\:z=-3,\:y=2$

Produto de matrizes

Dadas duas matrizes A e B, o produto AB só poderá ser obtido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. A matriz terá como ordem o número de linhas de A e o número de colunas de B.

• $A_{mxn}\cdot B_{nxp}=AB_{mxp}$

Matriz Inversa

Uma matriz quadrada B de ordem n é a inversa da matriz quadrada A, também de ordem n, se satisfazer a seguinte condição

• $A\cdot B=B\cdot A=I_n$

Representa-se a matriz inversa de A como sendo $A^{-1}$

Exemplo: Dada a matriz,

$A=\begin{pmatrix}1&3\\ 2&1\end{pmatrix}$

encontra-se a matriz inversa se $A_2\cdot \left(A^{-1}\right)_2=I_2$, então

• $\begin{pmatrix}1&3\\ 2&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}= > \begin{pmatrix}a+3c&b+3d\\ 2a+c&2b+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$

Pela igualdade de matrizes, podem-se construir os seguintes sistemas:

• $\begin{cases}a+3c&=1\\ 2a+c&=0\end{cases}= > a=\frac{-1}{5}\:e\:c\:=\frac{2}{5}\:= > \begin{cases}b+3d&=0\\ 2b+d&=1\end{cases}= > b=\frac{3}{5}\:e\:d=\frac{1}{5}$

Portanto, conclui-se que

$A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\ \frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{pmatrix}$

Sendo assim podemos resolver o exercício da seguinte maneira

a)

$\begin{pmatrix}1&-1&2&1\\ 1&0&1&1\\ 1&2&0&0\\ 1&-2&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&3&2\\ 0&0&2&1\\ 1&-1&2&1\\ -1&2&-5&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&7&4\\ 0&0&-1&0\end{pmatrix}$

b)

$\begin{pmatrix}1&-1&2&1\\ 1&0&1&1\\ x&2&0&0\\ y&z&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&3&2\\ 0&0&2&1\\ 1&-1&2&-1\\ -1&2&-5&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&0&0&-4\\ 0&1&0&-2\\ 0&0&3x+4&2x+2\\ 0&0&3y+2z&2y+z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}$

Agora basta resolvermos o sistema

$\begin{bmatrix}3x+4=1\\ 2x+2=0\\ 3y+2z=0\\ 2y+z=1\end{bmatrix}= > \begin{bmatrix}2\left(-1\right)+2=0\\ 3y+2z=0\\ 2y+z=1\end{bmatrix}= > \begin{bmatrix}0=0\\ 3y+2z=0\\ 2y+z=1\end{bmatrix}$

$\mathrm{Substituir\:}y=-\frac{2z}{3}$

$\begin{bmatrix}2\left(-\frac{2z}{3}\right)+z=1\end{bmatrix}= > \begin{bmatrix}-\frac{z}{3}=1\end{bmatrix}= > z=-3$

Determinando o valor de y, teremos: $y=-\frac{2\left(-3\right)}{3}=2$

Por fim teremos, $x=-1,\:z=-3,\:y=2$

Saiba mais sobre matriz:https://brainly.com.br/tarefa/40050271

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