2- Observe a sequência dada (4,7, 10,13, 16,19...) agora calcule qual é o décimo termo dessa PA? A)25 B)32 (CÁLCULO) C)20 D)42 3- Qual é a razão da PA acima? Ou seja do exercício 2 A) 4 B)5 (CÁLCULO) C)7 D)3 ME AJUDEM POR FAVOR
Respostas
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (4, 7, 10, 13, 16, 19,...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 3 unidades (por exemplo, 7=4+3 e 10=7+3). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 4
d)décimo termo (a₁₀): ?
e)número de termos (n): 10
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do décimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, aproximando-se e depois afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, haja vista que o sexto termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 7 - 4 ⇒
r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₀ = 4 + (10 - 1) . (3) ⇒
a₁₀ = 4 + (9) . (3) ⇒
a₁₀ = 4 + 27 ⇒
a₁₀ = 31
QUESTÃO 2 → RESPOSTA: O décimo termo da P.A. (4, 7, 10, ...) é 31.
QUESTÃO 3 → RESPOSTA: A razão dessa P.A. é 3. (ALTERNATIVA D)
OBSERVAÇÃO 2: Certamente houve um erro de digitação das alternativas da QUESTÃO 2, haja vista que os valores 25, 32, 20 e 42 são incompatíveis com o décimo termo da sequência apresentada na questão. Veja nos ANEXOS 1 e 2 a comprovação da referida incompatibilidade.
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VERIFICAÇÃO DE QUE AS RESPOSTAS ESTÃO CORRETAS
→Substituindo a₁₀ = 31 e r = 3 na fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o 32º termo e a razão realmente correspondem ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
31 = a₁ + (10 - 1) . (3) ⇒
31 = a₁ + (9) . (3) ⇒
31 = a₁ + 27 ⇒
31 - 27 = a₁ ⇒
4 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 4 (Provado que a₁₀ = 31 e r = 3.)
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