Question

seja f: R ⟶ R+ tal que f(x) = |x|. Sobre o lim x⟶ 0 de f(x), podemos afirmar que:
a) O limite existe e é igual a 1.
b) O limite existe e é igual a + infinito
c) o limite não existe, visto que a função não é contínua.
d) o limite não existe, visto que os limites laterais são diferentes.
e) o limite existe e é igual a 0.

Answer 1

O limite existe e é igual a zero (letra e).

Pela definição, dizemos que uma função possui limite no ponto a se,

para todo $\epsilon$>0 existir um $\delta$>0 tal que $|x-a|<\delta\implies |f(x)-f(a)|<\epsilon$

Ou seja, para afirmar que o limite existe, temos que executar os seguintes passos:

1- montar $|x-a|<\delta$

2- montar $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ e manipular para obter um resultado simplificado

3- após as manipulações, chegar até a conclusão de que $\delta \le \epsilon$

No caso da função modulo de x, teremos duas retas.

Assim faremos

$\pm|f(x)-f(a)|<\epsilon$ e $\pm|x-a|< \delta$

Mas repare que $|f(x)-f(a)|=|x-a|$ pois se trata da função módulo.

Assim verificamos que esta função tem limite em todos os pontos.