Question

No triângulo ABC, as medidas indicadas estão em centímetros. Determine a área do triângulo. a. 600m b. 500m c. 700m d. 800m

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=600~u.a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar alguns conceitos de geometria plana.

Observe que o segmento de medida $24$ divide o segmento $\overline{BC}$ em dois segmentos, $m$ e $n$. Veja também que o ângulo $\measuredangle{BAC}$ mede $90\°$.

Isto significa que este é um triângulo retângulo em $A$, os segmentos $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ são os catetos e $\overline{BC}$ é a hipotenusa.

Os segmentos $m$ e $n$ são chamados de projeções dos catetos na hipotenusa.

As relações que utilizaremos são:

$\begin{cases}m\cdot n=h^2\\ b^2=a\cdot m\\ a = m+n\\\end{cases}$

A altura $h$ é o segmento que une o vértice $A$ a sua projeção ortogonal na reta que une os vértices $B$ e $C$. Como podemos ver na imagem, $h=24$.

A partir disso, perceba que podemos calcular a medida do segmento $n$ utilizando o Teorema de Pitágoras:

$30^2=24^2+n^2$

Calcule as potências

$900=576+n^2$

Subtraia $576$ em ambos os lados da equação

$n^2=324$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$n=\pm\sqrt{324}$

Decompondo o radical em fatores primos, observamos que $324=18^2$, logo

$n=\pm18$

Porém, como se trata de uma figura geométrica, assumimos somente a solução $n=18~~\checkmark$.

Substituindo esta medida na fórmula que relaciona estas projeções à medida da altura, temos:

$m\cdot 18=24^2$

Calcule a potência

$18m =576$

Divida ambos os lados por $18$

$m=32~~\checkmark$

Para finalizarmos a solução, utilize a segunda fórmula descrita no sistema:

$b^2=(32+18)\cdot 32$

Some os termos entre parênteses e multiplique os valores

$b^2=50\cdot 32\\\\\\ b^2=1600$

Retire a raiz em ambos os lados da equação

$b=\pm\sqrt{1600}$

Decompondo o radicando em fatores primos, observa-se que $1600=40^2$, logo

$b=\pm 40$

Em se tratando de uma figura geométrica, assumimos somente a solução positiva, logo $b=40~~\checkmark$.

A área do triângulo retângulo de catetos $b$ e $c$ é dada por:

$S=\dfrac{b\cdot c}{2}$, logo substituindo as medidas conhecidas, temos

$S=\dfrac{40\cdot 30}{2}$

Multiplique os valores

$S=\dfrac{1200}{2}$

Simplifique a fração

$S=600~u.a$

Esta é a área deste triângulo.