Question

1.Qual a integral de x² . dx ? 2.Qual a integral de -6 . dw ? 3.Qual a integral de (x + 3y) . dx ? 4.Qual a integral de sen(3x) . dx ? 5.Qual a integral de cos(2x) . dx ?

Answer 1

Olá, bom dia.

Para calcularmos cada uma das integrais indefinidas, devemos relembrar algumas técnicas de integração.

a) $\displaystyle{\int x^2\,dx}$

Para encontrarmos a primitiva desta função, utilizamos a regra da potência, dada por:

$\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$

Aplicando a regra, teremos

$\displaystyle{\int x^2\,dx=\dfrac{x^{2+1}}{2+1}$

Some os valores e adicione a constante de integração

$\displaystyle{\int x^2\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C,~C\in\mathbb{R}$.

b) $\displaystyle{\int -6\,dw}$

Para encontrarmos esta primitiva, lembre-se que:

• A integral do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral da função, ou seja: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx}$.
• O número $1$ pode ser reescrito como uma potência de expoente zero.

Nossa integral pode ser reescrita como:

$\displaystyle{-6\cdot \int w^0\,dw}$

Aplicando a regra da potência, temos

$\displaystyle{\int -6\,dw}=-6\cdot \dfrac{w^{0+1}}{0+1}$

Some os valores e adicione a constante de integração

$\displaystyle{\int -6\,dw}=-6\cdot \dfrac{w^{1}}{1}\\\\\\ \displaystyle{\int -6\,dw}=-6w+C,~C\in\mathbb{R}$

c) $\displaystyle{\int x+3y\,dx}$

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma da integral das funções, ou seja: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}$.
• A integral de uma variável a qual o diferencial não diz respeito é calculada pela regra da constante discutida acima.

Teremos então:

$\displaystyle{\int x+3y\,dx=\int x\,dx +\int 3y\,dx$

Aplique a regra da potência na primeira integral e a regra da constante na segunda:

$\displaystyle{\int x+3y\,dx=\dfrac{x^{1+1}}{1+1} +3y\cdot\int x^0\,dx$

Aplique a regra da potência na segunda integral

$\displaystyle{\int x+3y\,dx=\dfrac{x^{1+1}}{1+1} +3y\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}}$

Some os valores e adicione a constante de integração

$\displaystyle{\int x+3y\,dx=\dfrac{x^{2}}{2} +3y\cdot\dfrac{x^{1}}{1}}\\\\\\ \displaystyle{\int x+3y\,dx=\dfrac{x^{2}}{2} +3yx+C,~C\in\mathbb{R}$

d) $\displaystyle{\int \sin(3x)\,dx}$

Para calcularmos esta primitiva, faremos uma substituição: $u=3x$

Derivando ambos os lados, temos: $du=3\cdot dx$

Logo, isolando o diferencial, temos: $dx=\dfrac{du}{3}$

Substituindo as expressões, teremos:

$\displaystyle{\int \sin(u)\,\dfrac{du}{3}}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int \sin(u)\,du}$

Sabendo que a integral da função seno é dada por: $\displaystyle{\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)}$, temos

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int \sin(u)\,du}=\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot(-\cos(u))}$

Multiplique os termos

$-\dfrac{\cos(u)}{3}$

Devolva a substituição $u=3x$ e adicione a constante de integração

$\displaystyle{\int \sin(3x)\,dx}=-\dfrac{\cos(3x)}{3}+C,~C\in\mathbb{R}$

e) $\displaystyle{\int \cos(2x)\,dx}$

Da mesma forma, faça uma substituição $u=2x$

Derivando os dois lados, teremos o diferencial $du=2dx$

Isolando o diferencial $dx$, temos que $dx=\dfrac{du}{2}$

Substituindo as expressões, temos

$\displaystyle{\int \cos(u)\,\dfrac{du}{2}}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\int \cos(u)\,\dfrac{du}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\int \cos(u)\,du}$

Sabendo que a integral da função cosseno é dada por: $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)}$, nossa integral se torna

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int \cos(u)\,du=\dfrac{1}{2}\cdot \sin(u)$

Multiplique os termos

$\dfrac{\sin(u)}{2}$

Devolva a substituição $u=2x$ e adicione a constante de integração

$\displaystyle{\int \cos(2x)\,dx}=\dfrac{\sin(2x)}{2}+C,~C\in\mathbb{R}$

Answer 2

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$\bf 01\to \displaystyle\sf{\int x^2~dx=\dfrac{1}{3}x^3+k}\\\bf 02\to\displaystyle\sf{\int -6~dw=-6w+k}\\\bf 03\to\displaystyle\sf{\int (x+3y)~dx=\dfrac{1}{2}x^2+3xy+\phi(y)}\\\bf 04\to\displaystyle\sf{\int sen(3x)~dx=-\dfrac{1}{3}cos(3x)+k}\\\bf 05\to\displaystyle\sf{\int cos(2x)~dx=\dfrac{1}{2}sen(2x)+k}$