Question

Sabendo que os pontos A(2,6) e B(5,4) são equidistantes à reta
decrescente kx + y = 0, podemos concluir que k vale
- 10/7
- 1/3
2/3
5/8
- 3/10

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{k=\frac{2}{3}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos utilizar a fórmula de distância do ponto à reta estudada em geometria analítica.

Seja a reta decrescente $k\cdot x+y=0$ e os pontos $A~(2,~6)$ e $B~(5,~4)$.

Sabendo que os pontos $A$ e $B$ são equidistantes à reta, utilizamos a fórmula:

$d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, que mede a distância do ponto $(x_0,~y_0)$ á reta de equação $ax+by+c=0$.

Neste caso, dizemos que $d_A=d_B$, logo sendo os coeficientes da equação:

$\begin{cases}a=k\\b=1\\c=0\\\end{cases}$

Teremos:

$\dfrac{|k\cdot 2+1\cdot 6+0|}{\sqrt{k^2+1^2}}=\dfrac{|k\cdot 5+1\cdot 4+0|}{\sqrt{k^2+1^2}}$

Os denominadores são iguais, some os valores e iguale os numeradores:

$|2k+6|=|5k+4|$

Existem duas soluções para a equação modular:

$\begin{cases}2k+6=5k+4\\2k+6=-5k-4\\\end{cases}$

Na primeira equação, temos:

$2k+6=5k+4$

Isole $k$

$2k-5k=4-6$

Some os termos

$-3k=-2$

Divida ambos os lados da equação por $-3$

$k=\dfrac{2}{3}$

Na segunda equação, temos:

$2k+6=-5k-4$

Isole $k$

$2k+5k=-4-6$

Some os valores

$7k=-10$

Divida ambos os lados da equação por $7$

$k=-\dfrac{10}{7}$

Porém, como nos foi dito que a reta é decrescente, o valor de $k$ na equação geral deve ser maior que zero.  Logo, a resposta final é:

O valor de $k$ que satisfaz o enunciado é igual a $\dfrac{2}{3}$.

Observe o gráfico: O primeiro mostra a equação da reta para $k=\dfrac{2}{3}$ e o segundo mostra a equação da reta para $k=-\dfrac{10}{7}$, deixando claro que para valores de $k<0$, a reta passa a ser crescente.