Question

Considere um triângulo PQR com as coordenadas dos vertices P=(0,3,0), Q=(2,4,0), R= (2,3,z). Existe (ou existem) valor (ou valores) do z que satisfazem a condição de que esse triângulo seja equilátero?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos escrever os vetores que descrevem os lados desse triângulo, eu vou adotar os seguintes vetores: PQ, PR e RQ. Infelizmente não consigo colocar a seta para indicar vetores, mas vamos lá, para um triângulo ser equilátero temos que ter todos os lados iguais, ou seja, a norma de PQ, PR e RQ devem ser iguais; ║PQ║=║PR║=║RQ║, o exercicio não disse se a base era ortonormal mas eu irei assumir de qualquer forma.

Assumindo uma base ortonomal de V³ podemos calcular o módulo do vetor como a raiz da soma dos quadrados das coordenadas, resumindo:

║v║=$\sqrt{x^{2}+y^{2} +z^{2} }$

Vamos calcular as coordenadas dos vetores PQ, PR e RQ:

Q - P = (2, 4, 0) - (0, 3, 0) = (2, 1, 0) = PQ

R - P = (2, 3, Z) - (0, 3, 0) = (2, 1, Z) = PR

Q - R = (2, 4, 0) - (2, 3, Z) = (0, 1, -Z) = RQ

Agora só temos que declarar a igualdade! vamos calcular o módulo de PQ

║PQ║=$\sqrt{2^{2} +1^{2} } =\sqrt{5}$

Agora nós sabemos que todos os lados devem ser iguais a

║PR║=$\sqrt{Z^{2}+5}$=$\sqrt{5}$

Para que isso seja verdade, Z deve ser igual a 0

║RQ║=$\sqrt{Z^{2}+1 } =\sqrt{5}$

Para que isso seja verdade, Z deve ser igual a 2

Com isso temos que os valores de Z divergem, ou seja, não existem valores de Z que satisfaçam essa condição.

Espero ter ajudado, caso note algum erro no raciocínio (Algelin EAD foi boa, então é provavel que tenha) me avise para revisar a resposta, qualquer duvida respondo nos comentários