Question

A função quadrática é definida por y = ax² + bx + c. Sabendo que f (0) = - 6, f (1) = - 8 e f (-2) = 10, determine: a) Os coeficientes a, b e c? b) Os valores de x para a imagem igual a 24

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a=2,~b=-4,~c=-6~|~x=-3~~ou~~x=5}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Dada a função quadrática definida pelos coeficientes $f(x)=ax^2+bx+c$ e algumas informações, podemos encontrar as respostas para as alternativas.

a) Sabendo que $f(0)=-6,~f(1)=-8$ e $f(-2)=10$, teremos o seguinte sistema de equações:

$\begin{cases}a\cdot 0^2+b\cdot0+c=-6\\ a\cdot 1^2+b\cdot1 +c = -8\\ a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+c=10\\\end{cases}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\begin{cases}c=-6\\a+b+c = -8\\4a-2b+c=10\\\end{cases}$

Substituindo a primeira equação nas outras duas, teremos o novo sistema:

$\begin{cases}a+b-6 = -8\\4a-2b-6=10\\\end{cases}$

Some 6 em ambos os lados das equações

$\begin{cases}a+b = -2\\4a-2b=16\\\end{cases}$

Multiplicando a primeira equação por 2, ficaremos com

$\begin{cases}a+b = -2~~\cdot(2)\\4a-2b=16\\\end{cases}\\\\\\ \begin{cases}2a+2b = -4\\4a-2b=16\\\end{cases}$

Somando as equações, teremos

$6a=12$

Dividindo ambos os lados por 6

$a=2~~\checkmark$

Substituindo este valor em qualquer uma das equações cima, teremos

$2+b=-2\\\\\\ b=-4$

Nossa função é $f(x)=2x^2-4x-6$

b) Para quais valores de $x$ a imagem é igual a $24$?

Igualamos nossa função a $24$

$2x^2-4x-6=24$

Subtraia 24 em ambos os lados da equação

$2x^2-4x-30=0$

Utilizando a fórmula resolutiva $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$, substitua os valores dos coeficientes.

$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 2\cdot (-30)}}{2\cdot 2}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+240}}{4}$

Some os valores

$x=\dfrac{4\pm\sqrt{256}}{4}$

Sabendo que $256=16^2$, teremos

$x=\dfrac{4\pm16}{4}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{4-16}{4}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{4+16}{4}$

Some os valores

$x=\dfrac{-12}{4}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{20}{4}$

Simplifique as frações

$x=-3~~~\mathtt{ou}~~~x=5$

Estes são os valores para os quais a função assume imagem igual a 24.