Question

Determine o valor de L para que a função seja contínua em x = 3.​

Answer 1

Temos que:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x {}^{2} - 9 }{x - 3} \: \: \: se \: \:x \neq3 \\ L \: \: \: se \: \: x = 3\end{cases}$

A questão quer saber qual o valor de "L" partindo de que a função deve ser contínua em x = 3. Para uma função ser contínua, ela deve cumprir 3 restrições que são:

$1) \: f(x) \rightarrow definida \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 2)\lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x) = \lim_{x\rightarrow a^{-}} f(x) \\ \\ 3)\lim_{x\rightarrow a^{}} f(x) = f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Vamos seguir a ordem das restrições.

• 1) A função f(x) deve ser definida:

Certamente a função é definida e o seu valor é "L", então:

$f(x) = L\\ f(3)=L$

• 2) Os limites laterais devem ser iguais para que o limite bilateral exista:

Para calcular os limites laterais vamos considerar que "x" esteja tendendo a 3 pela direita e pela esquerda, então:

$\lim_{x\rightarrow 3^{+}} f(x) = \lim_{x\rightarrow 3^{-}} f(x)$

"x" tendendo a direita de "3" quer dizer que "x" está partindo de valores maiores que 3 e se aproximando do mesmo, já quando "x" tende pela esquerda é o contrário, pois "x" se aproxima de 3 por valores menores, por esse motivo usaremos a função dada para x ≠ 3, já que o limite é uma aproximação de um determinado valor, que nesse caso é 3.

$\lim_{x\rightarrow 3^{+}} \frac{x {}^{2} - 9}{x - 3} = \lim_{x\rightarrow 3^{-}} \frac{x {}^{2} - 9}{x - 3}$

Se substituirmos o valor a qual o "x" tende no local do mesmo, vamos nos deparar com uma indeterminação, então vamos abrir aquele produto notável do numerador:

$(x {}^{2} - y {}^{2} ) = (x + y).(x - y) \\ (x {}^{2} - 3 {}^{2} ) = (x - 3).(x + 3)$

Temos então que:

$\lim_{x\rightarrow 3^{+}} \frac{(x + 3). \cancel{(x - 3)}}{ \cancel{x - 3}} = \lim_{x\rightarrow 3^{-}} \frac{(x + 3).( \cancel{x - 3)}}{ \cancel{x - 3}} \\ \\ \lim_{x\rightarrow3 ^{+}} x + 3 = \lim_{x\rightarrow 3^{-}} x + 3 \\ \\ \lim_{x\rightarrow3 ^{+}} 3+ 3 = \lim_{x\rightarrow 3^{-}} 3 + 3 \\ \\ \boxed{6 = 6} \rightarrow \exists\lim_{x\rightarrow3 ^{}} f(x)$

Os limites laterais existem, ou seja, o limite bilateral existe, além que que a segunda restrição também está ok.

• 3) O limite bilateral deve ser igual a função f(x), então:

$\lim_{x\rightarrow3 ^{}} f(x) = f(x)$

Sabemos o valor do limite e o valor da função, então vamos substituir os dois:

$\lim_{x\rightarrow3 ^{}}f(x) = f(x) \\ 6 = L \\ \boxed{L = 6}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Caso tenha problemas para visualizar a resposta experimente abrir pelo navegador https://brainly.com.br/tarefa/31201632

========================================================

$\sf f(x)=\begin{cases}\sf\dfrac{x^2-9}{x-3}~se~x\ne3\\\sf L~se~x=3\end{cases}$

$\sf f(3)=L\\\displaystyle\lim_{x \to 3^{+}}f(x)=\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x \to 3}\dfrac{\diagup\!\!\!(\diagup\!\!\!x\diagup\!\!\!\!\!-\diagup\!\!\!\!3)\cdot(x+3)}{\diagup\!\!\!\!x\diagup\!\!\!\!\!-\diagup\!\!\!3}=3+3=6\\\displaystyle\sf\lim_{x \to 3^{-}}=\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=6\implies \lim_{x \to 3}f(x)=6\\\sf \lim_{x \to 3}f(x)=f(3)\\\sf L=6\checkmark$