Question

(UFU) Sobre uma mesa de altura 0,8 m, apoia-se uma rampa lisa na forma de um quadrante de circunfe-
rência de raio 0,45 m. Do ponto A da rampa, abandona-se uma particula de massa m que vai chocar-se
elasticamente com outra partícula de massa 2m em repouso no ponto B, mais baixo da rampa.
Dado: g - 10 m/s​

a) a velocidade da particula de massa 2m ao chocar-se com o solo
b) a altura, acima do tampo da mesa, que a particula de massa m alcança após a colisão.
c) a distância entre os pontos de impacto das particulas com o solo.

Answer 1

Resposta:

a) 2 raiz de 5

Explicação:

\sf \dpi{90} E_{M_A}=E_{M_B} \therefore \not{E_{C_A}}+E_{P_A}=E_{C_B}+\not{E_{P_B}}

\sf \dpi{90} \not{m}gR=\frac{\not{m}v^2}{2}\therefore v=\sqrt{2\cdot g\cdot R} \Rightarrow v=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0,45}\Rightarrow v_1 = 3 \, m/s

Calculando as velocidades das partículas 1 e 2 imediatamente após a colisão:

Qantes = Qdepois

\sf \dpi{90} m\cdot 3 + 2m\cdot 0 = m\cdot v_1'+2m\cdot v_2' \: \: (:m)\therefore v_1' + 2 v_2' = 3\: \: (1)

\sf \dpi{90} e = \dfrac{|vr_{depois}|}{|vr_{antes}|}\Rightarrow 1 = \frac{v_2' - v_1'}{3}\therefore v_2' - v_1' = 3\: \: (2)

De (1) e (2), tem-se:

\sf \dpi{90} (v_{1}^{'} + 2v_{2}^{'}=3)\: \: +\: \: (v_{2}^{'} - v_{1}^{'} = 3)\Rightarrow 3v_{2}^{'} = 6

\sf \dpi{90} \Rightarrow v_{2}^{'}= 2\, m/s, em \: que \:\, v_{1}^{'}= 2\, m/s

Calculando a velocidade da partícula de massa 2m ao se chocar com o solo:

\sf \dpi{90} E_{M_B}=E_{M_{solo}}\therefore E_{C_B}+E_{P_B}=E_{C_{solo}}+ \not E_{P_{solo}}

\sf \dpi{90} \frac{\not2m(2)^2}{2}+2m\cdot g\cdot (0,8) = \frac{\not2mv^2}{2}\therefore v^2 = 20 \Rightarrow v=2\sqrt{5} \, m/s

Answer 2

Após a colisão a partícula de massa m subirá a rampa e a de massa 2m vai ser arremessada horizontalmente até o solo, chegando lá com velocidade de 2√5 m/s. Já a massa m subirá 5 cm acima da mesa. Ambas distarão horizontalmente 40 cm ao chegarem no solo.

Como podemos aplicar o princípio a conservação de energia mecânica?

Em sistemas mecânicos podemos aplicar esse princípio sempre que houver alteração na energia do mesmo, visto que essa energia nunca é perdida, apenas transformada em outras formas de energia.

a) Primeiro vamos calcular a velocidade com que a massa m atinge a massa 2m no final da rampa. Aplicando a conservação de energia mecânica:

$E_{m_A} = E_{m_B}$

Consideremos que inicialmente a massa m estava com energia cinética nula, logo:

$E_{m_A} = E_{m_B}\\\\E_{p_A} = E_{p_B} + E_{c_B}\\\\mgh_A = mgh_B + mv_m^2/2\\\\gh_A - gh_B = v_m^2/2\\\\v_m^2 = 2g(h_A - h_B) = 2gR = 2*10*0,45 = 9\\\\v_m = 3 m/s$

Se a colisão foi elástica, então a velocidade de saída da rampa da massa 2m é:

$Q_{inicial} = Q_{final}\\\\mv_m = mv_m' + 2mv_{2m}'\\\\3 = v_m' + 2v_{2m}'\\\\v_m' = 3 - 2v_{2m}'$

Aplicando a fórmula da colisão perfeitamente elástica:

$1 = \frac{v_{2m}' - v_m'}{v_m - v_{2m}} = \frac{v_{2m}' - v_m'}{3 - 0} \\\\v_{2m}' - v_m' = 3\\\\v_m' = v_{2m}' - 3$

Igualando as duas expressões:

$v_m' = v_m'\\\\v_m' = 3 - 2v_{2m}' = v_{2m}' - 3\\\\3v_{2m}' = 6\\\\v_{2m}' = 2 m/s$

Por fim, vamos analisar toda a trajetória de queda da massa 2m. Podemos aplicar novamente o princípio da conservação da energia mecânica e encontraremos a velocidade dela ao chegar ao solo:

$E_{m_B} = E_{m_{solo}}\\\\E_{c_B} + E_{p_B} = E_{c_{solo}}\\\\2mv_{2m}'^2/2 + 2mgh_B = 2mv^2/2\\\\v_{2m}'^2/2 + gh_B = v^2/2\\\\2^2/2 + 10*0,8 = v^2/2\\\\v^2/2 = 10\\\\v^2 = 20\\\\v = 2\sqrt{5} m/s$

b) Vamos primeiro calcular a velocidade final da massa m após a colisão. Substituindo o valor da velocidade final da massa 2m na primeira relação encontrada, teremos:

$v_m' = 3 - 2v_{2m}' = 3 - 2*2 = -1 m/s$

O sinal negativo indica que essa massa subirá a rampa após a colisão. Aplicando o princípio da conservação da energia mecânica encontraremos sua altura final:

$E_{m_{inicial}} = E_{m_{final}}\\\\E_{c_{inicial}} = E_{p_{final}}\\\\mv_m'^2/2 = mgH\\\\gH = v_m'^2/2\\\\10H = 1/2 = 0,5\\\\H = 0,05m = 5 cm$

c) Vamos calcular a distância horizontal percorrida por cada massa até atingir o solo. Primeiro vamos calcular o tempo de queda:

$S - S_o = v_ot + at^2/2\\\\0,8 = 0*t + 10t^2/2\\\\t^2 = 0,8/5 = 0,16\\\\t = 0,4 s$

O tempo é o mesmo para ambas as massas porque corpos de massa diferentes caem ao mesmo tempo no solo, quando desconsideramos o atrito.

Para a massa 2m vamos ter uma distância horizontal de:

$S - S_o = vt\\\\d_{2m} = v_{2m}'t = 2*0,4 = 0,8m$

Já a partícula de massa m colidirá e após a colisão vai subir a rampa. Após chegar na sua altura máxima ela descerá até o ponto B novamente, onde acabará caindo no solo. Ao passar pelo ponto B ela terá a mesma velocidade que calculamos pós-colisão, pois não há atrito entre a massa e a rampa. Deste modo, sua distância horizontal é:

$S - S_o = vt\\\\d_{m} = v_{m}'t = 1*0,4 = 0,4m$

Portanto, a diferença entre as duas distâncias vale 0,8 - 0,4 = 0,4 metros, ou 40 centímetros.

Você pode aprender mais sobre Energia Mecânica aqui: https://brainly.com.br/tarefa/19734562

#SPJ2