Question

Sejam u, v vetores linearmente independentes e base. Mostrar que w= 3u + v, z= 2u – v também formam uma base.

Answer 1

Resposta:

u = (a,b)

v =(c,d)

a  b

c   d

det = a*d-b*c ≠ 0 , portanto , formam uma base  e são LI

w= 3u + v = (3a,3b) +(c,d) =(3a+c , 3b+d)

z= 2u – v =(2a,2b) - (c,d) =(2a-c , 2b-d)

3a+c        3b+d

2a-c          2b-d

det = (3a+c)*(2b-d) -(3b+d)*(2a-c)

=6ab-3ad+2bc-cd -6ab+3bc-2ad+cd

=5bc-5ad =5 *(bc-ad)

Sabemos que a*d-b*c ≠ 0 , portanto, (bc-ad) é também diferente de zero . logo,  w e z também formam uma base