Question

Calcule a derivada de
$f(x) = {3}^{ {x}^{2} - 4}$
​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{f'(x)=2x\cdot 3^{x^2-4}\cdot \ln(3)}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos a derivada da função $f(x)=3^{x^2-4}$, devemos relembrar algumas propriedades.

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia, logo $(f\circ g)'=g'\cdot f'\circ g$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência $a^x$ é dada por $a^x\cdot \ln (a)$.

Podemos demonstrar a última relação por ser menos conhecida.

Utilizando a definição, sabemos que a derivada de uma função corresponde ao limite:

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}$, logo considerando $f(x)=a^x$, temos

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{a^{x+\Delta{x}}-a^x}{\Delta{x}}$

Pela propriedade de potência, o produto de potências de mesma base é a base elevada a soma dos expoentes, logo:

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{a^{x}\cdot a^{\Delta{x}}-a^x}{\Delta{x}}$

Temos $a^x$ como fator comum em evidência, logo

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{a^{x}\cdot(a^{\Delta{x}}-1)}{\Delta{x}}$

Dessa forma, como o limite diz respeito a $\Delta{x}$, podemos fazer:

$f'(x)= a^{x}\cdot\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(a^{\Delta{x}}-1)}{\Delta{x}}$

Para calcularmos este limite, façamos uma substituição $u=a^{\Delta{x}}-1$

Isolando $a^{\Delta{x}}$, temos que $a^{\Delta{x}}=u+1$

Retirando o logaritmo natural em ambos os lados, temos

$\ln(a^{\Delta{x}})=\ln(u+1)$

Pela propriedade de logaritmos, temos

$\Delta{x}\cdot\ln(a)=\ln(u+1)$

Então, $\Delta{x}=\dfrac{\ln(u+1)}{\ln(a)}$

Substituindo estas expressões no limite inicial, lembrando que se $\Delta{x}\rightarrow0$, $u\rightarrow 0$.

$f'(x)= a^{x}\cdot\underset{u\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{u}{\left(\dfrac{\ln(u+1)}{\ln(a)}\right)}$

Calculando a fração de fração, temos

$f'(x)= a^{x}\cdot\underset{u\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{u\cdot\ln(a)}{\ln(u+1)}$

Da mesma forma, retiramos $\ln(a)$ como uma constante

$f'(x)= a^{x}\cdot\ln(a)\cdot \underset{u\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{u}{\ln(u+1)}$

Por fim, pelo teorema do confronto, sabemos que quando uma das funções está limitada a um intervalo, como o logaritmo natural que neste caso pertence ao intervalo $\left]-1,~0\right[~\cup~\left]0,~\infty\right[$ e ambas as funções convergem para o mesmo ponto, este limite é igual a 1, logo:

$f'(x)= a^{x}\cdot\ln(a)$

Visto isso, retornemos para a nossa questão. Aplique a regra da cadeia:

$f'(x)=(x^2-4)'\cdot 3^{x^2-4}\cdot \ln(3)$

Aplique a regra da soma

$f'(x)=((x^2)'-(4)')\cdot 3^{x^2-4}\cdot \ln(3)$

Aplique a regra da potência e da constante

$f'(x)=2x\cdot 3^{x^2-4}\cdot \ln(3)$

Esta é a derivada da nossa função.