Question

escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos G=(1,-3,7) e H= (4,1,2) usando GH como vetor diretor

Answer 1

✅ Tendo resolvido todos os cálculos, concluímos que a equação paramétrica da reta é:

      $\Large\begin{cases}x = 1 + 3\lambda\\y = -3 + 4\lambda\\z = 7 - 5\lambda \end{cases}$

Se nos foi dado os seguintes pontos:

      $\Large\begin{cases} G(1, -3, 7)\\H(4, 1, 2)\end{cases}$

Sabendo que a equação paramétrica de uma reta é originada a partir da equação vetorial, então temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\overrightarrow{GP} = \lambda\vec{v} \end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}P - G = \lambda\vec{v} \end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}P = G + \lambda\vec{v}, \:\:\:com\:\lambda\in\mathbb{R}\:e\:\vec{v}\neq0\end{gathered}$

Calculando as coordenadas do vetor diretor, temos

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{v} = \overrightarrow{GH} \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= H - G \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (4, 1, 2) - (1, -3, 7) \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (4 - 1, 1 - (-3), 2 - 7) \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (3, 4, -5) \end{gathered}$

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{v} = (3, 4, -5) \end{gathered}$

Tendo calculado as coordenadas do vetor diretor, montamos a equação vetorial que é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: (x, y, z) = (1, -3, 7) + \lambda(3, 4, -5) \end{gathered}$

✅ Agora podemos montar a equação paramétrica da referida equação que é:

       $\Large\begin{cases}x = 1 + 3\lambda\\y = -3 + 4\lambda\\z = 7 - 5\lambda \end{cases}$

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Solução gráfica: