Question

Qual é a maior potência de 2 que divide 2011^2012 – 1?
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 32

Answer 1

Resposta:

d) 16

Explicação passo-a-passo:

a) 2 divide 2011^2012 - 1

2011 ≡ 1 mod(2)

2011^2012 ≡ 1 mod(2)

2011^2012 - 1 ≡ 1 - 1 mod(2)

2011^2012 - 1 ≡ 0 mod(2)

b) 4 divide 2011^2012 - 1

2011 ≡ 3 mod(4)

2011^2 ≡ 3^2 ≡ 1 mod(4)

2011^2 ≡ 1 mod(4)

2011^2012 ≡ 1 mod(4)

2011^2012 - 1 ≡ 1 - 1 mod(4)

2011^2012 - 1 ≡ 0 mod(4)

c) 8 divide 2011^2012 - 1

2011 ≡ 3 mod(8)

2011^2 ≡ 3^2 ≡ 1 mod(8)

2011^2 ≡ 1 mod(8)

2011^2012 ≡ 1 mod(8)

2011^2012 - 1 ≡ 1 - 1 mod(8)

2011^2012 - 1 ≡ 0 mod(8)

d) 16 divide 201^2012 - 1

2011 ≡ 11 mod(16)

2011^2 ≡ 11^2 ≡ 9 mod(16)

2011^2 ≡ 9 mod(16)

(2011^2)^2 ≡ 9^2 mod(16)

2011^4 ≡ 81 ≡ 1 mod(16)

2011^4 ≡ 1 mod(16)

2011^2012 ≡ 1 mod(16)

2011^2012 - 1 ≡ 1 - 1 mod(16)

2011^2012 - 1 ≡ 0 mod(16)

e) 32 não divide 2011^2012 - 1

2011 ≡ 27 mod(32)

2011^2 ≡ 27^2 ≡ 25 mod(32)

2011^2 ≡ 25 mod(32)

(2011^2)^2 ≡ 25^2 ≡ 17 mod(32)

2011^4 ≡ 17 mod(32)

(2011^4)^2 ≡ 17^2 ≡ 1 mod(32)

2011^8 ≡ 1 mod(32)

2011^2008 ≡ 1 mod(32)

2011^2008 . 2011^4 ≡ 2011^4 mod(32)

2011^2012 ≡ 17 mod(32)

2011^2012 - 1 ≡ 17 - 1 mod(32)

2011^2012 -  1 ≡ 16 mod(32)