Question

Seja f: R ⟶ R+ tal que $f(x) = \sqrt[2]{x^{2} + x + 1}$. A inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P=(0,1) é:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d)~\dfrac{1}{2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas técnicas de derivação.

Lembre-se que no ensino médio, estudamos a equação do feixe de retas, dada por:

$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

Então, considerando $y=f(x_0)$ e  $m=f'(x_0)$, já que o coeficiente angular da reta tangente é a derivada da função no  ponto que ela intercepta, reescrevemos:

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$

Para derivarmos a função $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R^+}$ tal que $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$, lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia, logo $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma potência é dada por $(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Então, derive ambos os lados da função

$f'(x)=(\sqrt{x^2+x+1})'$

Neste caso, temos uma função composta. Considere $h(x)=\sqrt{x}$ e $g(x)=x^2+x+1$. Aplicando a regra da cadeia, temos:

$f'(x)=(x^2+x+1)'\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$

Lembre-se que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, logo a derivada encontrada acima é facilmente demonstrada pela regra da potência.

Para derivar a soma, utilize a regra da soma:

$f'(x)=((x^2)'+(x)'+(1)')\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$

Aplique a regra da potência e da constante

$f'(x)=(2x+1)\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$

Multiplique as frações

$f'(x)=\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$

Substituindo as coordenadas do ponto $x_0=0$, temos

$f'(0)=\dfrac{2\cdot0+1}{2\sqrt{0^2+0+1}}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$f'(0)=\dfrac{1}{2}$

A equação da reta se torna:

$f(x)=f(0)+f'(0)\cdot (x-0)\\\\\\\\\\f(x)=1+\dfrac{1}{2}\cdot x$

Afirmamos então que a inclinação da reta tangente no ponto é igual a $\dfrac{1}{2}$ e é a resposta contida na letra d).

Observe a imagem em anexo: temos o gráfico da função $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$ e a equação da reta tangente que passa pelo ponto $(0,~1)$. Ela tem inclinação igual a $\dfrac{1}{2}$.