Question

Pergunta 9
A derivada da função f(x)= x2 + 4 no ponto x = 2 é:​

Answer 1

Resposta:

f(x)=x²+4

f'(x)=2x

f'(2)=2*2=4

Answer 2

Vamos encontrar a derivada da função através da definição:

• Temos a seguinte função:

$f(x) = x {}^{2} + 4$

Através da definição temos que:

$\frac{dy}{dx} = \lim_{ \Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Primeiro vamos calcular f(x + ∆x) a partir da função f(x):

$f(x + \Delta x) = x {}^{2} + 4 \\ f(x + \Delta x) = (x + \Delta x) {}^{2} + 4 \\ f(x + \Delta x) = (x + \Delta x).(x + \Delta x) + 4 \\ \boxed{ f(x + \Delta x) = x {}^{2} + 2 x\Delta x + (\Delta x) {}^{2} + 4}$

Substituindo as informações na definição:

$\frac{dy}{dx} = \lim_{ \Delta x \rightarrow0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ \\ \frac{dy}{dx} = \lim_{ \Delta x \rightarrow 0} \frac{x {}^{2} + 2 x\Delta x +(\Delta x) {}^{2} + 4 -(x {}^{2} + 4) }{\Delta x} \\ \\ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x {}^{2} + 2 x\Delta x +(\Delta x) {}^{2} + 4 - x {}^{2} - 4 }{\Delta x} \\ \\ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ 2 x\Delta x +(\Delta x) {}^{2} }{\Delta x} \\ \\ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \cancel{\Delta x}.(2x + \Delta x)}{ \cancel{\Delta x}} \\ \\ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (2x + \Delta x) \\ \\\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}(2x + 0) \\ \\ \boxed{\frac{dy}{dy} = 2x}$

Substituindo o valor da abscissa:

$\boxed{x = 2 } \\ \\ \frac{dy}{dx} = 2x \\ \frac{dy}{dx} = 2.2 \\ \boxed{\frac{dy}{dx} = 4 }$