5) O triângulo retângulo isosceles a seguir está inscrito em uma circunferência de raio 3 cm.
Qual a área, em cm2 desse triângulo?
Respostas
Resposta:
Área = 9 cm²
Explicação passo-a-passo:
Olá,
Um Δ retangulo isósceles é um caso particular que eu gostaria de recordar com voce.
Se esse Δ é isósceles isso significa que ele possui 2 lados congruentes (de mesma medida). Existe uma propriedade dos Δ isósceles que diz que :
Os angulos opostos aos lados congruentes são iguais. Portanto de acordo com essa propriedade se nós temos 2 lados congruentes nós também vamos ter 2 angulos iguais.
Como o angulo A vale 90º se nós tivermos outro angulo de 90º nesse Δ o terceiro angulo desse polígono deverá ser de 0º (Porque a soma dos angulos internos de um Δ é sempre igual a 180º). Como não tem como um angulo do Δ medir 0º nós concluímos que :
Os angulos que são iguais são os angulos dos vértices B e C. Se num Δ isósceles os ang. opostos aos lados congruentes são iguais nós temos que :
O angulo do vértice B é oposto ao lado AC e o angulo do vértice C é oposto ao lado AB. Portanto : AB = AC.
Obs : Se um angulo medir 0º isso significa que as semirretas que o formam estariam uma sobre a outra. Logo não teria como essas semirretas formarem um lado do Δ.
Se nós chamarmos o lado AB de a nós temos que : O lado AC também vai valer a.
Como esse Δ é retangulo nós podemos usar o ''Teorema de Pitágoras'' para fazer uma demonstração. Sabendo que BC é a hipotenusa do nosso Δ (Já que ela é o lado oposto ao angulo de 90º) nós ficamos com o seguinte :
BC² = AB² + AC²
BC² = a² + a²
BC² = 2a²
BC = √2a² → BC = a√2. (Nesse caso o 'a' sai da raiz porque o seu expoente é igual ao índice do radicando que no caso por ser uma raiz quadrada vale 2).
Note que além de ser a hipotenusa do nosso Δ BC também é o diametro da circunferencia circunscrita ao ΔABC (Já que BC é um segmento de reta que passa pelo centro e atinge a circunferencia em 2 pontos). Como :
Diametro = 2.Raio
Diametro = 2.3 → Diametro = 6 cm, BC = Diametro. Portanto BC = 6 cm.
Voltando na fórmula anterior nós conseguimos descobrir quanto mede cada lado do nosso ΔABC.
BC = a√2
a√2 = 6
a = 6/√2 (Nesse caso será necessário racionalizar o denominador, ou seja : multiplicar em cima e embaixo por √2). Após fazer isso nós chegaremos que :
a = 3√2 cm, e como a = AC = AB então : AC = AB = 3√2 cm.
P/ descobrirmos qual a área desse Δ basta utilizarmos a seguinte fórmula :
Área = base x altura/2
Ainda falta acharmos a altura desse Δ. Para fazermos isso vamos recorrer a uma outra propriedade dos Δ isósceles que diz que :
A mediana e a altura de um dado vértice são coincidentes. P/ traçarmos a altura do ΔABC nós devemos partir do vértice A e chegar até o ponto O formando 90º. No entanto esse segmento também será mediana do ΔABC, ou seja : AO vai dividir o lado BC em duas partes iguais.
Observe que de O até C e de O até B nós temos o raio dessa circunferencia. Portanto : OB = OC = 3 cm
Note que quando nós traçamos a altura AO nós dividimos o ΔABC em dois outros Δ retangulos congruentes. P/ acharmos o segmento AO nós podemos apelar para o ''Teorema de Pitágoras'' novamente. Veja :
Nesse caso a nossa hipotenusa será AC (Já que o angulo de 90º estará no ponto O). Portanto :
AC² = AO² + OC²
(3√2)² = AO² + 3²
9.2 = AO² + 9
18 = AO² + 9
18 - 9 = AO²
AO² = 9
AO = √9 → AO = 3 cm, e como AO = altura do ΔABC nós temos que : altura do ΔABC = 3 cm
Agora sim é só jogar esses valores obtidos nas passagens anteriores na fórmula da área de um Δ.
Área = 6.3/2 → Área = 18/2 → Área = 9 cm²