Question

Escrever o complexo z=1/2+raiz de 3/2 na forma trigonométrica.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{z=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para escrevemos o número complexo $z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot i$, devemos relembrar algumas propriedades.

Seja o número complexo de forma algébrica $w=a+bi$, tal que $a$ é sua parte real e $b$ é sua parte imaginária. Sua forma trigonométrica é dada por:

$w=|w|\cdot(\cos(\theta)+i\cdot\sin(\theta))$, tal que $|w|$ é o módulo deste número complexo, calculado por $|w|=\sqrt{a^2+b^2}$ e $\theta$ é o argumento deste número.

Para encontrarmos o argumento, utilizamos a fórmula: $\theta=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$.

Então, utilizando o número que temos, calculamos seu módulo:

$|z|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}}$

Calcule as potências

$|z|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}}$

Some as frações

$|z|=\sqrt{\dfrac{4}{4}}$

Simplifique a fração

$|z|=\sqrt{1}\\\\\\|z|=1$

Para calcularmos seu argumento, utilize a fórmula comentada acima:

$\theta=\arctan\left(\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\left(\dfrac{1}{2}\right)}\right)$

Calculando a fração de frações

$\theta=\arctan(\sqrt{3})$

Conhecendo a tabela de ângulos notáveis, facilmente vemos que

$\theta=\dfrac{\pi}{3}$

Substituindo estas informações, teremos a forma trigonométrica:

$z=1\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$

Esta é a forma trigonométrica deste número.