Question

encontre as integrais indefinidas∫(3sec x tg x -5 cossec2 x ) dx

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{3\sec(x)+\dfrac{5}{2}\ln|\csc(2x)+\cot(2x)|+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta integral, devemos relembrar de algumas técnicas de integração.

Seja a integral indefinida $\displaystyle{\int3\sec(x)\tan(x)-5\csc(2x)\,dx}$.

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções, ou seja: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral da função, logo: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma função composta pode ser calculada por substituição, que será melhor explicado mais adiante.

Então, aplique a propriedade da soma:

$\displaystyle{\int3\sec(x)\tan(x)\,dx-\int 5\csc(2x)\,dx}$

Aplique a propriedade da constante discutida acima:

$\displaystyle{3\int\sec(x)\tan(x)\,dx-5\int \csc(2x)\,dx}$

Para resolver a primeira integral, faça uma substituição $u=\sec(x)$. Derive ambos os lados para encontrar o diferencial $du$:

$u'=(\sec(x))'$

Sabendo que a função $\sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}$, aplicamos a regra do quociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2}$:

$du=\dfrac{1'\cdot\cos(x)-(\cos(x))'\cdot 1}{\cos^2(x)}\,dx$

Sabendo que a derivada de uma constante é igual a zero e que a derivada da função $\cos(x)=-\sin(x)$, temos:

$du=\dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\,dx$

Observe que podemos transformar esta fração no produto:

$du= \dfrac{1}{\cos(x)}\cdot \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx$

Sabendo que $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$, temos que

$du=\sec(x)\tan(x)\,dx$

Veja que o diferencial $du$ é o próprio integrando, logo nossa integral se torna

$3\displaystyle{\int du}$

Sabendo que $\displaystyle{\int\,dx=x}$, temos:

$3\cdot u$

Desfaça a substituição $u=\sec(x)$

$3\sec(x)$

Para resolvermos a segunda integral, faremos outra substituição $\theta=2x$.

Derive ambos os lados da equação

$\theta'=(2x)'$

Acompanhe o restante da resolução desta integral em anexo.

1bcaff3f53a99852d822a8b6b84770ef.pdf