Question

Agora descubra as raízes das seguintes equações polinomiais:
a) x³ + x - 10 = 0
b) x³ - 5x² + 6x = 0
c) 8 + x³ = 0​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas equações polinomiais de grau 3, utilizaremos o Teorema das raízes racionais e o Algoritmo prático de Briot-Ruffini.

Seja uma equação polinomial de grau 3 com coeficientes reais $ax^3+bx^2+cx+d=0$. O teorema das raízes racionais nos diz para encontrar a fração irredutível dos divisores dos coeficientes $d$ e $a$.

Ao testarmos os valores no algoritmo, se um dos valores é raiz, teremos um polinômio de grau 2 cujas soluções são as raízes restantes.

a) $x^3+x-10=0$

Os divisores do termo independente são:

$p=\{\pm1, ~\pm2,~\pm5,~\pm10\}$

Os divisores do termo dominante são:

$q=\{\pm1\}$

Então, a razão entre estes divisores é

$\dfrac{p}{q}=\{\pm1, ~\pm2,~\pm5,~\pm10\}$

Dispondo os coeficientes no algoritmo de Briot-Ruffini e testando algumas das raízes:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~1~~~~-10}}\\~~~~1~~|~~~~1\\-1~~|~~~~1\\~~~~2~~|~~~~1$

O processo consiste em multiplicar os termos abaixo dos coeficientes pelos termos abaixo do $x$ e somá-lo ao próximo coeficiente, até chegarmos ao último. Ficaremos com:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~1~~-10}}\\~~~~1~~|~~~~1~~~~1~~~~2~~~-8\\-1~~|~~~~1~-1~~~2~~-12\\~~~~2~~|~~~\boxed{1~~~~2~~~~5}~~~~0$

Os termos em destaque serão os coeficientes do polinômio de grau 2:

$x^2+2x+5=0$

Para resolvê-lo, utilize a fórmula resolutiva $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}$

Calculando as potências e multiplicando os valores, temos

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}$

Sabendo que $\sqrt{m\cdot n}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}$ e $i=\sqrt{-1}$, temos

$x=\dfrac{-2\pm4i}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{-2-4i}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{-2+4i}{2}$

Simplifique as frações

$x=-1-2i~~~\mathtt{ou}~~~x=-1+2i$

O conjunto solução desta equação é:

$\boxed{S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=(-1-2i,~-1+2i,~2)\}}$

b) $x^3-5x^2+6x=0$

Neste caso, temos $x$ como fator comum em evidência. Fatorando este termo, teremos:

$x\cdot(x^2-5x+6)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo:

$x=0~~~\mathtt{ou}~~~x^2-5x+6=0$

Na segunda equação, utilize a fórmula resolutiva:

$x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot 1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{5\pm1}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{5-1}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{5+1}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{4}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{6}{2}$

Simplifique as frações

$x=2~~~\mathtt{ou}~~~x=3$

O conjunto solução desta equação é:

$\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}~|~x=(0,~2,~3)\}}$

c) $8+x^3=0$

Subtraia 8 em ambos os lados da equação

$x^3=-8$

Retire a raiz cúbica em ambos os lados

$x=\sqrt[3]{-8}$

Sabendo que $-8=(-2)^3$, temos

$x=-2$

Porém, como demonstrado por Gauss, dada uma equação polinomial de grau $n\geq1$, ela deve apresentar $n$ raízes.

Neste caso, utilizamos novamente o algoritmo de Briot-Ruffini para encontrar o restante delas.

Dispomos os coeficientes:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~0~~~~8}}\\~~-2~~|~~~~1$

Fazendo o processo, teremos:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~0~~~~8}}\\~~-2~~|~~\,\,~1~~-2~~~\,4~~~0$

Nossa equação polinomial de grau 2 é:

$x^2-2x+4=0$

Utilize a fórmula resolutiva

$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-16}}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{-12}}{2}$

Simplifique a raiz

$x=\dfrac{2\pm2i\sqrt{3}}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{2-2i\sqrt{3}}{2}~~~\mathtt{ou}~~x=\dfrac{2+2i\sqrt{3}}{2}$

Simplfique as frações

$x=1-i\sqrt{3}~~~\mathtt{ou}~~x=1+i\sqrt{3}$

O conjunto solução desta equação é:

$\boxed{S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=(1-i\sqrt{3},~1+i\sqrt{3},~-2)\}}$