Question

derivada de f(x) =inx.cos(3x)

Answer 1

Temos que:

$f(x) = ln(x) .cos(3x)$

Observe que há uma multiplicação entre essas duas funções, então podemos usar a regra do produto dada por:

$\boxed{ \frac{d}{dx}[g(x).h(x)] = \frac{d}{dx} h(x).g(x) + h(x). \frac{d}{dx} g(x) }$

Interpretando essa multiplicação como:

$f(x) = g(x).h(x) \rightarrow \begin{cases} g(x) = ln(x) \\ h(x) = cos(3x) \end{cases}$

Aplicando na regra:

$\frac{d}{dx}[g(x).h(x)] = \frac{d}{dx} [ ln(x) ] .cos(3x) + ln(x) . \frac{d}{dx} cos(3x)$

Para que possamos resolver essa expressão, devemos lembrar da derivada do cosseno e a derivada do logaritmo natural:

$\ast \: \text{ derivada \: \: do \:\:logaritmo \: \: natural }\\ \frac{d}{dx} ln(x) = \frac{1}{x} \\ \\ \ast \: \text{derivada \: \: do \: \: cosseno} \\ \frac{d}{dx} [cos(x)] = - sen(x). \frac{d}{dx} (x)$

Aplicando essas derivadas na expressão:

$\frac{d}{dx}[g(x).h(x)] = \frac{1}{x} .cos(3x) + ln(x) . - sen(3x).3 \\ \\ \boxed{ \frac{d}{dx}[g(x).h(x)] = \frac{cos(3x)}{x} - 3 ln(x) .sen(3x)}$

Espero ter ajudado