Question

derivada de f(x) = (5x^2-3x+5)^6

Answer 1

→ Temos a seguinte função:

$f(x) = (5x {}^{2} - 3x + 5) {}^{6}$

Para encontrar a derivada, devemos usar a regra da cadeia. Analisando essa função podemos desmembra-la em:

$f(x) = (5x {}^{2} - 3x + 5) {}^{6} \\ f(x) = (u) {}^{6} \\ \\ ent \tilde{a}o \rightarrow \begin{cases} \: f(x) = u {}^{6} \\ u = 5x {}^{2} - 3x + 5 \end{cases}$

As regras de derivação que usaremos serão as seguintes:

❑ Regra da cadeia:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$

❑ Derivada do monômio:

$a.x^{n} = n.a.x^{n-1}$

❑ Derivada de uma constante:

Seja "g" uma constante e f(x) = g para todo x, então $\frac{df(x)}{dx}=0$

Sabendo de algumas das regras, vamos partir para os cálculos seguindo a lógica da expressão da regra da cadeia.

• Derivando "f(x)" em relação a "u" temos:

$\frac{df(x)}{du} = u {}^{6} \Longleftrightarrow \frac{df(x)}{du} = 6u {}^{5}$

•  Derivando "u" em relação a "x" temos:

$\frac{du}{dx} = 5x {}^{2} - 3x + 5 \Longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 10x - 3$

Substituindo os dados na regra da cadeia :

$\frac{df(x)}{dx} = 6u {}^{5} .10x - 3 \\ \\ \boxed{ \frac{df(x) }{dx} = 6(5x {}^{2} - 3x + 5) {}^{5} .(10x - 3)}$

Espero ter ajudado