Question

4) Calcule o volume de um tronco de cone reto, sabendo q a medida
de sua geratriz é 29 e que os raios das bases medem 10cm e 30cm,
respectivamente.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{V_{tronco}=9100\pi~cm^3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos o volume do tronco do cone, podemos utilizar diversas maneiras.

Utilizaremos a fórmula: $V_{tronco}=\dfrac{\pi\cdot h}{3}\cdot(R^2+R\cdot r + r^2)$, tal que $h$ é a altura do tronco, $R$ é o raio da base e $r$ é o raio da base menor.

Podemos demonstrar esta fórmula utilizando semelhança de triângulos.

Observe a imagem em anexo: Considerando um cone de altura total $h_1+h_2$, raio da base $r_1$ e raio da base menor $r_2$.

Por semelhança de triângulos, vemos que

$\dfrac{r_1}{h_1+h_2}=\dfrac{r_2}{h_2}$

Veja que podemos escrever: $V_{total}=V_{cone}+V_{tronco}$, logo $V_{tronco}=V_{total}-V_{cone}$.

Ao multiplicar o lado direito da equação por $\dfrac{V_{cone}}{V_{cone}}$, podemos escrever

$V_{tronco}=\left(\dfrac{V_{tronco}-V_{cone}}{V_{cone}}\right)\cdot V_{cone}$

Simplifique a fração

$V_{tronco}=\left(\dfrac{V_{tronco}}{V_{cone}}-1\right)\cdot V_{cone}$

A partir do Princípio de Cavalieri, afirma-se que $\dfrac{V_{total}}{V_{cone}}=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3$, logo

$V_{tronco}=\left(\dfrac{{r_1}^3}{{r_2}^3}-1\right)\cdot V_{cone}$

Somando novamente as frações e substituindo $V_{cone}=\dfrac{\pi\cdot {r_2}^2\cdot h_2}{3}$, temos

$V_{tronco}=\left(\dfrac{{r_1}^3-{r_2}^3}{{r_2}^3}\right)\cdot \dfrac{\pi\cdot{r_2}^2\cdot h_2}{3}$

Multiplicando as frações

$V_{tronco}=\dfrac{\pi\cdot({r_1}^3-{r_2}^3)\cdot h_2}{3\cdot r_2}$

Isolando $h_2$ na fórmula que encontramos pela semelhança de triângulos, temos: $h_2=\dfrac{r_2\cdot h_1}{r_1-r_{2}}$

$V_{tronco}=\dfrac{\pi\cdot({r_1}^3-{r_2}^3)\cdot \dfrac{r_2\cdot h_1}{r_1-r_2}}{3\cdot r_2}$

Simplificando a fração

$V_{tronco}=\dfrac{\pi\cdot({r_1}^3-{r_2}^3)\cdot h_1}{3\cdot(r_1-r_2)}$

Sabendo que $a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+a\cdot b+b^2)$, reescrevemos ${r_1}^3-{r_2}^3$:

$V_{tronco}=\dfrac{\pi\cdot(r_1-r_2)\cdot({r_1}^2+r_1\cdot r_2+{r_2}^2)\cdot h_1}{3\cdot(r_1-r_2)}$

Simplifique a fração

$V_{tronco}=\dfrac{\pi\cdot({r_1}^2+r_1\cdot r_2+{r_2}^2)\cdot h_1}{3}$

Como queríamos demonstrar.

Voltando à nossa questão, devemos calcular a altura.

Utilizando o Teorema de Pitágoras, para um tronco de cone reto, ${g_1}^2={h_1}^2+(r_1-r_2)^2$

Dada a medida da geratriz $g_1=29~cm$, $r_1=30~cm$ e $r_2=10~cm$, temos

$29^2={h_1}^2+(30-10)^2$

Some os valores

$29^2={h_1}^2+20^2$

Calcule as potências

$841={h_1}^2+400$

Subtraindo $400$ em ambos os lados, temos

${h_1}^2=441$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados, assumindo a solução positiva

$h_1=21~cm$

Esta é a medida da altura. Substituindo esta e as outras medidas na fórmula do volume, temos:

$V_{tronco}=\dfrac{\pi\cdot 21\cdot(30^2+30\cdot 10+10^2)}{3}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$V_{tronco}=\dfrac{\pi\cdot \not{{21}}\cdot(900+300+100)}{3}\\\\\\ V_{tronco}=\pi\cdot 7\cdot 1400}\\\\\\ V_{tronco}=9100\pi~cm^3$

Este é o volume deste tronco de cone.