Question

$\lim_{x \to 4 \ \frac{2-\sqrt{x} }{4-x}$

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x \rightarrow 4 } \frac{2-\sqrt{x} }{4-x}$

Primeiro vamos substituir o valor a qual "x" tende:

$\frac{2 - \sqrt{4} }{4 - 4} = \frac{2 - 2}{0} = \boxed{\frac{0}{0}}$

Se você observar, surgiu uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, para que possamos encontrar o valor do limite, devemos fazer alguma manipulação algébrica que suma com essa indeterminação.

• Temos duas saídas, a primeira é pelo conjugado do numerador e a outra pela Regra de L'Hôpital, usarei a primeira saída.

Vamos multiplicar a expressão pelo conjugado do numerador:

$\frac{2-\sqrt{x} }{4-x}. \frac{ 2 + \sqrt{x} }{2 + \sqrt{x} } = \frac{2.2 + 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} - \sqrt{x} . \sqrt{x} }{(4 - x).(2 + \sqrt{x} )} = \\ \\ = \frac{4 + 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} - x}{(4 - x).(2 + \sqrt{x}) } = \frac{ \cancel{4 - x}}{ \cancel{( 4 - x)}.(2 + \sqrt{x}) } = \boxed{ \frac{1}{2 + \sqrt{x} } }$

Temos então que aquela expressão equivale a esta acima, então:

$\lim_{x \to 4} \frac{1}{2 + \sqrt{x} }$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\frac{1}{2 + \sqrt{4} } = \frac{1}{2 + 2} = \boxed{\frac{1}{4} }$

Podemos concluir então que:

$\boxed{\lim_{x \rightarrow 4 } \frac{2-\sqrt{x} }{4-x} = \frac{1}{4} }$

Espero ter ajudado