Question

Nessa figura, xOy é um sistema de coordenadas cartesianas, na unidade metro, AB é paralelo ao eixo x e representa o leito da avenida, cuja largura é de 15 metros, o

segmento OP mede 1,5 metros e o o ponto Q é o ponto

mais alto do viaduto, SO = 1 m e AO = 1 m.

Determine:

a) A expressão matemática da parábola que contém o viaduto, desprezando a espessura do mesmo.

b) A distância de um automóvel, de dimensões desprezíveis, até a avenida, quando ele estiver no ponto mais

alto do viaduto​

Answer 1

Resposta:

a) $y = -0,1x^{2} + 1,4x + 1,5$

b) 6,4 m

Explicação passo-a-passo:

Uma parábola é um gráfico típico de uma equação do 2º grau, do tipo:

                                         $y = ax^{2} + bx + c$

O $a$ é o coeficiente angular e determina se a concavidade da parábola ficará para baixo ou para cima.

A questão informa uma parábola com a concavidade para baixo. Logo, o coeficiente angular possui valor negativo.

O $c$ é o ponto do eixo y por onde a parábola passa. Baseado no enunciado da questão, temos $c = 1,5$ (o tamanho do segmento OP)

a)

Para descobrirmos a expressão matemática da parábola, precisamos calcular os valore de $a, b$ e $c$ e montar a equação. O valor de $c$, já sabemos: 1,5.

Olhando para o gráfico, podemos saber os possíveis valores de $x$ , para que a equação tenha valor $0$ (as raízes da equação). São os pontos $R$ e $S.$ Então: $x_{1} = -1$ (pois, SO = 1 e está à esquerda de $O$, sendo, portanto, negativo) e $x_{2} = 15$ (pois, AB = OR = 15).

Sabemos que a Soma da raízes é dada por: $S = - \frac{b}{a}$. Então:

$(-1) + 15 = - \frac{b}{a}\\\\14 = \frac{b}{a}\\\\14a = -b$

Sabemos, também, que o Produto das raízes é: $P = \frac{c}{a}$. Então:

$(-1).15 = \frac{c}{a}\\\\-15 = \frac{c}{a}\\\\-15a = c$

Como já sabemos o valor de $c$, vamos calcular $a$:

$-15a = 1,5\\\\a = \frac{1,5}{-15}\\\\a = -0,1$

Agora, substituiremos $a$ na expressão da Soma da raízes para calcularmos $b$:

$14a = -b\\14(-0,1) = -b\\-1,4 = -b\\\\b = 1,4$

Pronto! Já podemos montar a expressão matemática da parábola:

$y = ax^{2} + bx + c\\\\y = -0,1x^{2} + 1,4x + 1,5$

b)

O ponto mais alto do viaduto é dado por uma das coordenadas do vértice da parábola: $y_{v}$. Sendo que:

$y_{v} = - \frac{D}{4a}$. onde $D = b^{2} - 4ac$

$y_{v} = - \frac{(1,4)^{2} - 4.(-0,1).1,5}{4(-0,1)}\\\\y_{v} = - \frac{1,96 + 0,6}{-0,4}\\\\y_{v} = - \frac{2,56}{-0,4}\\\\y_{v} = 6,4$

A distância de um automóvel, de dimensões desprezíveis, até a avenida, quando ele estiver no ponto mais alto do viaduto​ será de 6,4 m