Question

Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor dos seguintes limites: I. espaço espaço espaço limite como x seta para a direita 1 de numerador x à potência de 50 menos x ao quadrado mais x menos 1 sobre denominador x à potência de 20 menos 1 fim da fração I I. espaço espaço espaço limite como x seta para a direita menos 1 de numerador 7 x à potência de 5 mais x à potência de 4 mais 6 sobre denominador x ao cubo mais 1 fim da fração

Answer 1

Temos os seguintes limites:

$\boxed{ I. \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x {}^{50} - x {}^{2} + x -1 }{x {}^{20} - 1} \: \: \: e \: \: \: II.\lim_{x\rightarrow - 1} \frac{7x {}^{5} + x {}^{4} + 6}{x {}^{3} + 1}}$

• Você há de concordar comigo que seria um saco ter que fazer tudo isso através de fatoração, então vamos aplicar a regra de L'Hôpital que agiliza todo esse processo.

Essa regra possui a seguinte definição formal:

• f e g deriváveis em torno de p, respeitando-se as condições de existência e sendo:

$\lim_{x\rightarrow p}f(x) = \lim_{x\rightarrow p}g(x) = 0 \\ou \\ \lim_{x\rightarrow p}f(x) = \lim_{x\rightarrow p}g(x) = \infty$

então deve se usar:

$\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow p}\frac{\frac{d}{dx}[f(x)]}{\frac{d}{dx}[g(x)]}$

Aplicando essa tal regra nos limites juntamente com a regra da potência, dada por: $x^{n} = n.x^{n-1}$ vamos ter que:

$\frac{x {}^{50} - x {}^{2} + x - 1 }{x {}^{20} - 1} =\frac{50x {}^{49} - 2x + 1}{20x {}^{19} }$

Primeira expressão derivada, então vamos partir para a segunda:

$\frac{7x {}^{5} + x {}^{4} + 6 }{x {}^{3} + 1 } = \frac{5.7 x {}^{4} + 4x {}^{3} }{3x {}^{2} } = \frac{35x {}^{4} + 4x {}^{3} }{ 3x {}^{2} }$

Agora vamos calcular o valor os limites a partir dessa nova expressão:

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{50x {}^{49} - 2x + 1 }{20x {}^{19} } \\ \\ \frac{50.1 {}^{49} - 2.1 + 1 }{20.1 {}^{19} } = \frac{50 - 2 + 1}{20} = \boxed{\frac{49}{20} } \\ \\ \lim_{x\rightarrow - 1} \frac{35x {}^{4} + 4x {}^{3} }{3x {}^{2} } \\ \\ \frac{35.( - 1) {}^{4} + 4( - 1) {}^{3} }{3.( - 1) {}^{2} } = \frac{35 - 4}{3} = \boxed{ \frac{31}{3} }$

Espero ter ajudado