Question

Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor do seguinte limite: pilha espaço lim com x seta para a direita 0 abaixo numerador s e n espaço x espaço menos x sobre denominador x espaço s e n espaço x fim da fração

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(x)-x}{x\cdot \sin(x)}=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos este limite $\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(x)-x}{x\cdot \sin(x)}$, utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

Seja o limite de uma função racional $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ são diferenciáveis e logo, contínuas em $c$.

Visto que as funções são contínuas, reescrevemos o limite como:

$\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~g(x)}=L$

Pela definição de continuidade

$\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)-f(c)}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~g(x)-g(c)}=L$

Dividindo o numerador e o denominador por $x-c$, temos que

$\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}}=L$

Faça uma substituição $\Delta{x}=x-c$, logo quando $x\rightarrow c$, $\Delta{x}\rightarrow 0$.

$\dfrac{\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(x-\Delta{x})}{\Delta{x}}}{\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{g(x)-g(x-\Delta{x})}{\Delta{x}}}=L$

Então, pela definição de derivada

$\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$

Como $x\rightarrow c$, a regra de l'Hôpital diz que

$\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \dfrac{f'(c)}{g'(c)}=L$, satisfeitas as condições de continuidade e diferenciabilidade.

Utilizamos esta regra quando nos deparamos com as indeterminações $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Voltemos para o nosso limite: $\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(x)-x}{x\cdot \sin(x)}$

Aplique a regra de l'Hôpital

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(\sin(x)-x)'}{(x\cdot \sin(x))'}$

Para derivarmos as funções, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno, logo $(\sin(x))'=\cos(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de um produto é calculada pela regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)$.

Aplicando a regra da soma no numerador e a regra do produto no denominador, temos:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(\sin(x))'-(x)'}{(x)'\cdot \sin(x)+(\sin(x))'\cdot x}$

Calcule a derivada da função seno e a derivada da potência

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\cos(x)-1}{\sin(x)+\cos(x)\cdot x}$

Como você pode ver, ao calcularmos este limite, teríamos novamente uma indeterminação $\dfrac{0}{0}$, logo aplique a regra novamente:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(\cos(x)-1)'}{(\sin(x)+\cos(x)\cdot x)'}$

Sabendo que a derivada da função cosseno é igual ao oposto da função seno, ou seja $(\cos(x))'=-\sin(x)$ e a derivada de uma constante é igual a zero, temos:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(\cos(x))'-(1)'}{(\sin(x))'+(\cos(x)\cdot x)'}\\\\\\ \underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)+(\cos(x))'\cdot x+(x)'\cdot\cos(x)}$

Aplicando as técnicas já vista anteriormente:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)-x\sin(x)+\cos(x)}$

Some os termos semelhantes

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{-\sin(x)}{2\cos(x)-x\sin(x)}$

Aplicando a propriedade de continuidade descrita acima

$\dfrac{-\sin(0)}{2\cos(0)-0\cdot \sin(0)}$

Sabendo que $\sin(0)=0$ e $\cos(0)=1$, temos

$\dfrac{-0}{2}$

A divisão de $0$ por qualquer número diferente de zero resulta em zero, logo

$0$

Este é o valor do nosso limite e é a resposta contida na letra b).