Question

determine as soluções da equação x3 - 6x2 + 32 = 0 sabendo que - 2 é uma de suas raízes (os números ao lado do X estão elevados ok?) ​

Answer 1

Resposta:

$S = \{-2, \;4\}\\x_2 = x_3 = 4$

Explicação passo-a-passo:

$f(x) = x^3 - 6x^2+32$

Queremos calcular as raízes dessa função, para quais valores x ela é zero, para isso vamos usar as relações de Girard, que são as seguintes para um polinomio de terceiro grau.

$ax^3+bx^2+cx+d=0\\\\x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\\\x_1\cdot x_2\cdot x_3=-\frac{d}{a}\\\\x_1\cdot x_2 + x_1\cdot x_3+ x_2\cdot x_3 =\frac{c}{a}\\\\\\x_n = \text{ra\'iz }n\text{ do polin\^omio }$

Estabelecido isso vamos montar nossas relações:

$1x^3+6x^2+0x+32=0\\\\a = 1\\b = -6\\c = 0\\d = 32\\\\x_1+x_2+x_3=-\frac{6}{1}\\\\x_1\cdot x_2\cdot x_3=-\frac{32}{1}\\\\x_1\cdot x_2 + x_1\cdot x_3+ x_2\cdot x_3 =\frac{0}{1}$

Agora vamos simplificar:

$x^3+6x^2+32=0\\\\x_1+x_2+x_3=6\\\\x_1\cdot x_2\cdot x_3=-32\\\\x_1\cdot x_2 + x_1\cdot x_3+ x_2\cdot x_3 = 0$

Sabemos também que uma das raízes é -2, então vamos substituir isso em x1:

$x^3+6x^2+32=0\\\\-2+x_2+x_3=6\\\\-2\cdot x_2\cdot x_3=-32\\\\-2\cdot x_2 +-2\cdot x_3+ x_2\cdot x_3 = 0$

Agora vamos resolver o exercício de fato e resolver esse sistema:

$-2+x_2+x_3=6\\\\-2\cdot x_2\cdot x_3=-32\\\\-2\cdot x_2 + -2\cdot x_3+ x_2\cdot x_3 = 0\\\\\\\text{Vamos isolar }x_2\cdot x_3\\x_2\cdot x_3 = \frac{32}{2} = 16\\\\\text{Sabemos que duas ra\'izes multiplicadas d\~ao 16}\\\\\text{Vamos isolar }x_2+ x_3\\-2+x_2+x_3=6\\x_2+x_3=8\\\\\text{Sabemos que duas ra\'izes somadas d\~ao 8}\\\text{Que n\'umeros somados d\~ao 8 e multiplicados 16?}\\\\\text{R: }(4 + 4) = 8,\quad 4 \cdot 4 = 16\\\\x_2 = 4\\x_3 = 4$

No fim caímos na mesma soma e produto de uma equação de segundo grau, portanto o conjunto solução essa equação é:

$S = \{-2, \;4\}$

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