Observe o triângulo MNO e as retas paralelas r e s na figura a seguir.

Anexos:

Respostas

respondido por: Anônimo

Trigonometria no triângulo retângulo

Obs.: leia a solução pelo navegador!

Vamos relembrar as definições de seno, cosseno e tangente:

$sen\theta=\dfrac{cateto~oposto~ao~\theta}{hipotenusa}$

$cos\theta=\dfrac{cateto~adjacente~ao~\theta}{hipotenusa}$

$tg\theta=\dfrac{cateto~oposto~ao~\theta}{cateto~adjacente~ao~\theta}$

Além disso,

$tg\theta=\dfrac{sen\theta}{cos\theta}$

Nota: a hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo (oposto ao ângulo reto - 90°)

Devemos lembrar os senos, cossenos e tangentes mais populares:

$30^o:sen=\dfrac{1}{2}~~/~~cos=\dfrac{\sqrt{3}}{2}~~/~~tg=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\\45^o:sen=\dfrac{\sqrt{2}}{2}~~/~~cos=\dfrac{\sqrt{2}}{2}~~/~~tg=1\\\\60^o:sen=\dfrac{\sqrt{3}}{2}~~/~~cos=\dfrac{1}{2}~~/~~tg=\sqrt{3}$

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Vamos à questão

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$\Delta PMQ:\\\\tg30^o=\dfrac{4\sqrt{3}}{\overline{MO}+4}\Rightarrow \dfrac{\diagup \! \! \! \! \! \! \! \!\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4\diagup \! \! \! \! \! \! \! \!\sqrt{3}}{\overline{MO}+4}\Rightarrow \overline{MO}+4=12\\\\\\\therefore~\overline{MO}=8.$

$\Delta MON:\\\\tg60^o=\dfrac{4\sqrt{3}+\overline{NP}}{8}\Rightarrow \sqrt{3}=\dfrac{4\sqrt{3}+\overline{NP}}{8}\Rightarrow\overline{NP}=8\sqrt{3}-4\sqrt{3}\\\\\therefore~\overline{NP}=4\sqrt{3}\\\\\\\underline{Resposta:}~~Alternativa~C$

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Importante!

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Observe que devido ao excesso de informações e a má elaboração do problema, existem dois valores distintos para o segmento NP.

Obs.: o enunciado já escreveu erroneamente ao dizer que NP é cateto, na verdade é uma parte do cateto. O cateto mesmo é o segmento MN.

$r//s\Leftrightarrow M\^RN\equiv M\^QP=30^o\\\\\therefore~\Delta MRN:sen30^o=\dfrac{4\sqrt{3}+\overline{NP}}{12\sqrt{3}}\Rightarrow\dfrac{1}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}+\overline{NP}}{12\sqrt{3}}\\\\\therefore~\overline{NP}=2\sqrt{3}.$