Question

Determine as coordenadas x e y do centro de gravidade da figura abaixo. Dados: área do retângulo = b  h; área do círculo = p  R2 . POR FAVOR ME AJUDEM...

Answer 1

Centro de Gravidade

   O C.G. trata-se do ponto onde podemos demarcar como sendo aquele onde age a gravidade. A gravidade atua no corpo todo, mas podemos indicar o vetor força em um único ponto sem perda de generalidade. Tal ponto é o centro de gravidade do corpo.

   Em ambientes onde a gravidade é homogeneamente distribuída, o CG coincide com o centro de massa do corpo (CM). Esse é o caso do problema, então basta determinarmos o centro de massa.

   A determinação do CM pode ocorrer de duas formas:

   1°. Pela definição;

$\displaystyle{x_{CM}=\dfrac{1}{M}\int x~dm}$

$\displaystyle{y_{CM}=\dfrac{1}{M}\int y~dm}$

    2°. Utilizando geometria plana e simetria.

   Nessa questão, vamos utilizar a segunda maneira, pois é mais conveniente devido a simetria do problema.

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   Resolução

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   Observe que podemos dividir o corpo igualmente em duas partes: eixo de simetria vertical. Veja a primeira imagem.

  Isso significa que o "x" do CM está nessa posição. Agora vamos encontrar o "y" do CM.

   Para isso, vamos utilizar o torque da força peso. Se apoiarmos essa placa exatamente no CM, equilibrar-se-á e nesse caso, equacionaremos a situação.

$\vec{\tau_d}=\vec{\tau_e}\quad(\alpha)$

   Vamos chamar de $\rho$ a densidade superficial da placa e considerar que ela está igualmente distribuída. Além disso, vamos dividir a placa em duas de modo a podermos determinar facilmente o CM de cada uma delas.

   Então, dividiremo-nas da seguinte forma: veja a segunda imagem.

   Dessa forma, assuma que o CM da placa está a uma distância $m$ do CM₂ e $n$ do CM₁ .

$(\alpha):\\\\\\M_2g\cdot m=M_1g\cdot n\Rightarrow [(S''-2S_{\circ})\rho]\cdot g\cdot m=[S'\cdot \rho]g\cdot n\Rightarrow$

$\Rightarrow [55\cdot 30-2\pi\cdot(5)^2]\diagup \! \! \! \! \!\rho]\cdot \diagup \! \! \! \! \!g\cdot m=[55\cdot 15]\diagup \! \! \! \! \!\rho\cdot \diagup \! \! \! \! \!g\cdot n$

$1.493\cdot m=825\cdot n~\therefore~n=1,81\cdot m.\quad (\beta)$

   Agora, note que a distância entre CM₁ e CM₂ vale 22,5 mm. Logo,

$m+n=\dfrac{30}{2}+\dfrac{15}{2}~\therefore~m+n=22,5\quad(\gamma)$

$Substituindo~(\beta)~em~(\gamma):\\\\m=\dfrac{22,5}{2,81}~\therefore~m=8~mm.$

   Com isso, concluímos que

$y_{CM}=15+8\Rightarrow y_{CM}=23~mm.$

$\underline{Resposta:}~CM=(27,5;23)$

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