Question

Determine no triângulo a seguir a medida da hipotenusa, a altura em relação a hipotenusa e a projeção dos catetos sobre a hipotenusa.
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Answer 1

Vamos começar identificando cada segmento no triangulo ABC.

--> AB = 16  :   cateto

--> AC = 9   :   cateto

--> BC = x    :  hipotenusa

--> Segmento de medida h: Altura em relação a hipotenusa

--> Segmento de medida y: Projeção do cateto AB sobre a hipotenusa

--> Segmento de medida z: Projeção do cateto AC sobre a hipotenusa

Podemos prosseguir então para os cálculos, utilizando o Teorema de Pitágoras e as relações métricas do triangulo retângulo.

$Hipotenusa^2~=~Cateto_1^{\,2}~+~Cateto_2^{\,2}\\\\\\x^2~=~16^2~+~9^2\\\\\\x^2~=~256~+~81\\\\\\x^2~=~337\\\\\\\boxed{x~=~\sqrt{337}}$

$Cateto_1^{\,2}~=~Hipotenusa~\cdot~^{\,Projecao}_{do~Cateto_1}\\\\\\16^2~=~\sqrt{337}~\cdot~y\\\\\\y~=~\dfrac{256}{\sqrt{337}}\\\\\\y~=~\dfrac{256}{\sqrt{337}}\cdot\dfrac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}\\\\\\\boxed{y~=~\dfrac{256\sqrt{337}}{337}}$

$Cateto_2^{\,2}~=~Hipotenusa~\cdot~^{\,Projecao}_{do~Cateto_2}\\\\\\9^2~=~\sqrt{337}~\cdot~z\\\\\\z~=~\dfrac{81}{\sqrt{337}}\\\\\\z~=~\dfrac{81}{\sqrt{337}}\cdot\dfrac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}\\\\\\\boxed{z~=~\dfrac{81\sqrt{337}}{337}}$

$\left(^{Altura~em~rel.}_{~~Hipotenusa}\right)^2~=~^{Projecao}_{do~Cateto_1}~\cdot~^{Projecao}_{do~Cateto_2}\\\\\\h^2~=~\dfrac{256\sqrt{337}}{337}~\cdot~\dfrac{81\sqrt{337}}{337}\\\\\\h^2~=~\dfrac{81\cdot256\cdot\sqrt{337}^{\,2}}{337^{\,2}}\\\\\\h^2~=~\dfrac{81\cdot256\cdot337}{337^{\,2}}\\\\\\h^2~=~\dfrac{81\cdot256}{337}\\\\\\h~=~\sqrt{\dfrac{81\cdot256}{337}}\\\\\\h~=~\dfrac{9\cdot16}{\sqrt{337}}\\\\\\\boxed{h~=~\dfrac{144\sqrt{337}}{337}}$