Question

(CESGRANRIO) Determine o conjunto solução de desigualdade |x+1| - |x| ≤ x + 2.Pesquisei sobre a questão, e o único gabarito que encontrei foi esse. Não consigo chegar a essa resposta. S: {x∈R | x ≥ -3}

Answer 1

Temos que analisar cada módulo separado.

Começando pelo  $|x+1|$:

$|x+1| = x+1 \text{ se } x\geq-1 \text{ e } \\~\\ |x+1 | = -x-1 \text{ se } x<-1$

Analisando o primeiro:

A equação vai ficar:

$x+1 - |x|\leq x+2$

Agora vamos separar em mais dois casos, baseado no segundo módulo:

$|x| = x \text{ se } x\geq0 \text{ e } \\~\\| x| = -x \text{ se } -1\leq x<0$

Analisando o primeiro caso²:

A equação vai ficar:

$x+1 - x \leq x+2$

$1 \leq x+2$

$-1\leq x$

$x\geq -1$

Lembrando que a condição era $x\geq 0$, então o conjunto solução desse caso é :

$S_1 = \left\{ x \in \mathbb{R}\text{ } | \text{ }x\geq 0 \right\}$

Segundo caso:

A equação vai ficar:

$x+1 + x \leq x+2$

$x\leq 1$

Lembrando que a condição era $-1\leq x<0$, então o conjunto solução desse caso é :

$S_2 = \left\{ x \in \mathbb{R}\text{ } | \text{ }-1\leq x<0 \right\}$

Analisando o segundo:

A equação vai ficar:

$-x-1 - |x|\leq x+2$

Agora vamos separar em mais dois casos, baseado no segundo módulo:

$|x| = x \text{ se } x\geq0 \text{ e } x< -1 \text{. Esse caso nunca acontece.}\\~\\| x| = -x \text{ se } x<-1$

O conjunto solução do primeiro caso é:

$S_3 = \emptyset$

Analisando o segundo caso:

A equação vai ficar:

$-x-1 +x\leq x+2$

$-3\leq x$

$x\geq -3$

Lembrando que a condição era $x<-1$, então o conjunto solução desse caso é :

$S_4 = \left\{ x \in \mathbb{R}\text{ } | \text{ }-3\leq x<-1 \right\}$

Unindo todos os conjuntos solução:

$R = [3\text{ , }-1[ \text{ }\cup \text{ }[-1\text{ , }0[ \text{ }\cup \text{ }[0\text{ , }\infty[$

$\boxed{R = \left\{ x \in \mathbb{R}\text{ } | \text{ }x\geq -3 \right\}}$