Question

determine as potências i elevado a 3542

Answer 1

Para acharmos o valor de uma potência de números imaginários, devemos usar o algoritmo da divisão, onde:

i^n = n |4

Sendo que o resto dessa divisão por 4 vai nos indicar qual é o valor equivalente a n. Para isso, porém, basta que usemos os dois últimos números, pois os demais não importam. Apenas queremos saber o resto, então não precisaremos acrescentar o 3 e o 5 do 3542. Assim,

i^3542

 42 |4
-4   1
02

O resto da nossa divisão é 2. Então podemos concluir que:

i^² = i^3542 = -1
Por definição, sabe-se que i^² é -1.
Caso você queira ter certeza do resultado, podemos fazer a divisão incluindo o 3 e o 5 no nosso número. Vou provar que o resto da divisão seria o mesmo caso tivéssemos dividido 3542 por 4 ao invés de apenas 42 por 4:

 3542|4
-32    885
034
  -32
    22
   -20
     02
Então a nossa potência seria, da mesma forma, i^², que vale -1.