Question

Calcule as integrais indefinidas a seguir

Answer 1

Olá, boa noite.

Para calcularmos estas integrais indefinidas, devemos relembrar algumas técnicas de integração.

a) $I=\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{x^7}-\sqrt[3]{x}}{6\sqrt[4]{x}}\,dx$

Aplique a propriedade da constante: a integral do produto de uma constante e uma função é igual ao produto da constante pela integral da função $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$

$I=\dfrac{1}{6}\cdot\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{x^7}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}}\,dx$

Lembre-se que podemos reescrever os radicais como potências de expoentes fracionários, tal que $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$, logo

$I=\dfrac{1}{6}\cdot\displaystyle{\int \dfrac{x^{\frac{7}{2}}-x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}}\,dx$

Podemos reescrever a fração como uma soma de frações

$I=\dfrac{1}{6}\cdot\displaystyle{\int \dfrac{x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{1}{4}}}-\dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}}\,dx$

Aplique a propriedade de divisão de potências de mesma base, $\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$

$I=\dfrac{1}{6}\cdot\displaystyle{\int x^{\frac{7}{2}-\frac{1}{4}}}-x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}}\,dx$

Some as frações no expoente

$I=\dfrac{1}{6}\cdot\displaystyle{\int x^{\frac{13}{4}}-x^{\frac{1}{12}}}\,dx$

Aplique a propriedade da integral de uma potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ e a propriedade da integral da soma de funções $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}$

$I=\dfrac{1}{6}\cdot\left(\dfrac{x^{\frac{13}{4}+1}}{\dfrac{13}{4}+1}+\dfrac{x^{\frac{1}{12}+1}}{\dfrac{1}{12}+1}\right)$

Some as frações

$I=\dfrac{1}{6}\cdot\left(\dfrac{x^{\frac{17}{4}}}{\dfrac{17}{4}}+\dfrac{x^{\frac{13}{12}}}{\dfrac{13}{12}}\right)$

Calcule a fração de frações

$I=\dfrac{1}{6}\cdot\left(\dfrac{4\cdot x^{\frac{17}{4}}}{17}+\dfrac{12\cdot x^{\frac{13}{12}}}{13}\right)$

Efetue a propriedade distributiva e adicione a constante de integração

$\boxed{I=\dfrac{2\cdot x^{\frac{17}{4}}}{51}+\dfrac{2\cdot x^{\frac{13}{12}}}{39}\right)+C,~C\in\mathbb{R}}$

b) $I=\displaystyle{\int 3e^x-\dfrac{5}{x^4}-\sec^2x\cdot(\cos^3x+1)\,dx}$

Aplique a propriedade da soma discutida anteriormente

$I=\displaystyle{\int 3e^x\,dx-\int\dfrac{5}{x^4}\,dx-\int\sec^2x\cdot(\cos^3x+1)\,dx}$

Aplique a propriedade da constante

$I=\displaystyle{3\int e^x\,dx-5\int\dfrac{1}{x^4}\,dx-\int\sec^2x\cdot(\cos^3x+1)\,dx}$

Sabemos que $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x$ e $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x^p}\,dx=\dfrac{x^{1-p}}{1-p}$, logo

$I=\displaystyle{3e^x-5\cdot\dfrac{x^{1-4}}{1-4}-\int\sec^2x\cdot(\cos^3x+1)\,dx}$

Some os valores e efetue a propriedade de sinais e potências negativas

$I=\displaystyle{3e^x+\dfrac{5}{3x^3}-\int\sec^2x\cdot(\cos^3x+1)\,dx}$

Efetue a propriedade distributiva nesta integral

$I=\displaystyle{3e^x+\dfrac{5}{3x^3}-\int\sec^2x\cdot\cos^3x+\sec^2x\,dx}$

Para resolvermos esta outra integral, lembre-se que $\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$, logo

$I=\displaystyle{3e^x+\dfrac{5}{3x^3}-\int\cos(x)+\sec^2x\,dx}$

Sabendo que $\displaystyle{\int\cos x\,dx=\sin x$ e $\displaystyle{\int \sec^2x\,dx=\tan x$, temos

$I=\displaystyle{3e^x+\dfrac{5}{3x^3}-\sin x-\tan x$

Adicione a constante de integração

$\boxed{I=\displaystyle{3e^x+\dfrac{5}{3x^3}-\sin x-\tan x+C,~C\in\mathbb{R}}}$

c) $I=\displaystyle{\int \dfrac{x^2+5}{x^2+1}\,dx$

Observe que podemos reescrever a fração como

$I=\displaystyle{\int \dfrac{x^2+1+4}{x^2+1}\,dx$

Dessa forma, nossa integral se torna

$I=\displaystyle{\int 1+\dfrac{4}{x^2+1}\,dx$

Aplique a propriedade da soma e da constante

$I=\displaystyle{\int 1\,dx+4\int\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$

Calcule a primeira integral utilizando a regra da potência, lembrando que $x^0=1$.

$I=\displaystyle{\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+4\int\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$

A segunda integral pode ser calculada pela fórmula $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x^2+a^2}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)$, logo

$I=\displaystyle{\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+4\cdot\dfrac{1}{1}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{1}\right)$

Some e multiplique os valores, adicionando a constante de integração

$\boxed{I=x+4\arctan x+C,~C\in\mathbb{R}}}$

Estes são os resultados destas integrais indefinidas.