Question

Qual a área de um polígono regular de 12 lados, onde cada lado mede 4 cm?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{A_{pol\'igono}}=96+48\sqrt{3}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas relações de geometria plana.

Seja um dodecágono (polígono regular de 12 lados) tal que cada lado mede 4 cm. Para encontrarmos sua área, utilizaremos a lei dos senos e uma fórmula específica.

Observe que este dodecágono pode ser dividido em 12 triângulos isósceles de base de medida 4 cm. Porém, ao fazermos isso, o ângulo central (360°) também é dividido por 12.

$\dfrac{360\°}{12}=30\°$

Dessa forma, teremos 12 triângulos com ângulo agudo de 30°. Como se trata de um triângulo isósceles e em geometria plana, a soma dos ângulos internos de um triângulo resultam em 180°, os ângulos restantes medem 75°.

Para encontrarmos a área de um triângulo de lados a, b conhecidos e um lado desconhecido c, dadas as medidas de ao menos um de seus ângulos (oposto ao lado desconhecido), utilizamos a fórmula:

$A=\dfrac{a\cdot b\cdot \sin(\^c)}{2}$, tal que $\^c$ é o ângulo oposto ao lado desconhecido.

Para encontrarmos a medida dos lados a e b, tal que nestas condições, têm medidas iguais, utilizamos a lei dos senos.

Faremos então:

$\dfrac{a}{\sin(75\°)}=\dfrac{4}{\sin(30\°)}$

Sabendo que $\sin(30\°)=\dfrac{1}{2}$ e $\sin(75\°)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ (o que pode ser facilmente demonstrado por soma de arcos), temos:

$\dfrac{a}{\left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)}}=\dfrac{4}{\left(\dfrac{1}{2}\right)}$

Calculando a fração de frações e isolando $a$, temos

$a=2\cdot 4\cdot\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Multiplique os valores

$a=2\cdot(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

Visto que $a=b$, a área será:

$A=\dfrac{(2\cdot(\sqrt{6}+\sqrt{2}))^2\cdot \sin(30\°)}{2}$

Substituindo o valor do seno e calculando a potência, temos

$A=\dfrac{4\cdot(8+4\sqrt{3})\cdot \dfrac{1}{2}}{2}$

Multiplique os valores e simplifique a fração

$A=8+4\sqrt{3}$

Esta é a área de um dos triângulos. Como existem 12 deles, a área do polígono será:

$A_{pol\'igono}}=12\cdot (8+4\sqrt{3})$

Multiplique os valores

$A_{pol\'igono}}=96+48\sqrt{3}$

Esta é a área deste polígono.