Question

URGENTE Verifique qual a posição da reta r: 4x + 3y - 6 = 0 em relação a circunferência de equação geral x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0 A) a reta r é tangente a circunferência B) a reta r é secante a circunferência C) a reta r é externa a circunferência D) a reta r passa pelo centro da circunferência

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Geometria analítica

Achar a posição relativa da recta r: 4x + 3y - 6 = 0 em relação a circunferência :

$\sf{ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3~=~0 }$

Primeiro vamos reduzir a equação da circunferência :

Agrupar os termos da mesma variável :

$\iff \sf{ x^2 - 4x + y^2 + 6y = 3 }$

$\iff \sf{ x^2 - 4x + \red{4} + y^2 + 6y + \blue{9} ~=~ 3 + \red{4} + \blue{9} }$

$\iff \sf{ (x - 2)^2 + (y + 3)^2~=~16 }$

$\pink{ \iff\boxed{ \sf{ (x - 2)^2 + (y + 3)^2~=~4^2 } } \sf{ Eq.Reduzida } }$

Coordenadas do centro ( 2, -3) e raio = 4

$\red{ \sf{ d_{|C - r|}~=~ \dfrac{|ax + by + c|}{\sqrt{ a^2 + b^2} } } }$

$\iff \sf{ d_{|C - r|}~=~ \dfrac{ 4x + 3y - 6 }{\sqrt{4^2 + 3^2}} }$

$\iff \sf{ d_{|C - r|}~=~ \dfrac{4*2+3*(-3)-6}{\sqrt{16 + 9}} }$

$\iff \sf{ d_{| C- r|}~=~ \dfrac{ |8 - 9 - 6 | }{\sqrt{25}} }$

$\iff \sf{ d_{|C - r|}~=~ \dfrac{23}{5}~=~\pink{4,6} }$

Perceba que a distância entre o centro e a reta da equação é maior que zero. matematicamente :

$\longrightarrow \sf{ \green{ 4,6 > r \iff 4,6 > 4 } }$

Logo a recta r é externa a circunferência.

Espero ter ajudado bastante!)