Question

3. Determine o centro e o raio da seguinte circunferência x² +y² +2 x + 4y - 20 = 0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{O~centro~tem~coordenadas~(-1,~-2)~e~o~raio~mede~5}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para respondermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Devemos utilizar o método de completar quadrados para encontrar esta equação na forma reduzida: $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, tal que $(x_c,~y_c)$ são as coordenadas do centro e $r$ é a medida do raio.

Temos a seguinte equação de circunferência:

$x^2+y^2+2x+4y-20=0$

Para completar quadrados, observemos os termos de grau 1, neste caso, $2x$ e $4y$.

Lembre-se que em uma expansão binomial, como em $(x-x_c)^2$, teremos $x^2-2\cdot x\cdot x_c+{x_c}^2$. Isto significa que devemos somar o quadrado da metade deste número, de forma a encontrar o trinômio quadrado perfeito.

Então, ao dividirmos $\dfrac{2x}{2x}=1$ e $\dfrac{4y}{2y}=2$, adicionamos $1$ e $4$ a ambos os lados da equação:

$x^2+y^2+2x+4y-20+\bold{1+4}=\bold{1+4}$

Reorganize os termos

$x^2+2x+1+y^2+4y+4-20=\bold{1+4}$

Fatore os trinômios quadrados perfeitos e some os valores

$(x+1)^2+(y+2)^2-20=5$

Some $20$ em ambos os lados da equação, a fim de isolarmos os binômios

$(x+1)^2+(y+2)^2=25$

Ao compararmos esta equação que encontrarmos com a forma reduzida, descobrimos finalmente que:

O centro tem coordenadas $(-1,~-2)$ e o raio tem medida igual a $5$.