Question

Exprimir somente em função do cosseno a expressão: 1/sen²x - 1/cos²x - 1/tg²x - 1/cotg²x - 1/sec²x

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Simplificação de expressão trigonométrica

Dada a expressão :

$\pink{ \sf{ \dfrac{1}{\sin^2(x)} - \dfrac{1}{\cos^2(x)} - \dfrac{1}{\tan^2(x)} - \dfrac{1}{\cot(x)} - \dfrac{1}{\sec^2(x)} } }$

Perceba que :

$\sf{ *~\sec^2(x)~=~ \dfrac{1}{\cos^2(x)} }$

$\sf{ *~ \tan^2(x)~=~\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} }$

$\sf{ *~ \cot^2(x)~=~\dfrac{1}{\tan^2(x)}~=~\dfrac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} }$

É pela relação fundamental da trigonometria

$\sf{ \red{ \sin^2(x) + \cos^2(x)~=~ 1 } }$

$\iff \sf{ \sin^2(x)~=~ 1 - \cos^2(x) }$

Substituindo podemos ter :

$\sf{ m~=~ \dfrac{1}{1-\cos^2(x)} - \dfrac{1}{\cos^2(x)} - \dfrac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} - \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \cos^2(x) }$

$\sf{ m~=~ \dfrac{1}{1-\cos^2(x)} - \dfrac{\cos^2(x)}{1-cos^2(x)} - \dfrac{1}{\cos^2(x)} - \dfrac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} - \cos^2(x) }$

$\sf{ m~=~ \dfrac{ 1 - cos^2(x) }{1 - \cos^2(x)} - \dfrac{ 1 - 1 + \cos^2(x) }{\cos^2(x)} - \cos^2(x) }$

$\sf{ m~=~1 - \dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} - \cos^2(x) }$

$\iff \sf{ m~=~ 1 - 1 - \cos^2(x) }$

$\green{ \iff \boxed{ \sf{ m~=~ -\cos^2(x) } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)